Del 1

Oppgave 1

a)

Nullpunkt ved regning:

Ved inspeksjon ser man at dette stemmer med grafen.

b)

c)

d)

e)

<math>f(x)= -2x^3+8x+4 \\ f'(x) = -6x + 8 \\ f'(1) = -6+8=2 \\ f(1) = 10 \\ y= ax+b \\ y=2x+b \\punktet \quad (1,f(1)) \Rightarrow 10 = 2 + b \\ b = 8 \\ Likning \quad for \quad tangent: \quad y=2x+8</tex>

f)

Faktoriserer uttrykket ved hjelp av konjugatsetningen og regelen for faktorisering av fullstendig kvadrat, forkorter deretter uttrykket ved å stryke samme faktorer i teller og nevner:

<math>\frac {x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac {(x+3)\cdot (x-3)}{(x+3)(x+3)}=\frac {\cancel{(x+3)}\cdot (x-3)}{\cancel{(x+3)}(x+3)} =\frac {x-3}{x+3}</tex>

g)

<math> \log(2x +4) = 3 \log 2 \Leftrightarrow \log (2x+4)= \log(2^3) \Leftrightarrow 2x+4=2^3 \Leftrightarrow 2x+4=8 \Leftrightarrow 2x=8-4 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x= \frac 42 \Leftrightarrow x=2 </tex>

h)

1)

Sannsynligheten for at pilen peker enten på blått eller grønt felt når hjulet stopper er:

<math> P=P(B)+P(Gr)=\frac 38 + \frac 28 = \frac 58=0,625 =62,5 \percent </tex>

2)

Sannsynligheten for at pilen peker en gang på gult felt og en gang på grønt felt når hjulet snurres to ganger, er:

<math>P=P(Gul)\cdot P(Gr))=\frac 18 \cdot \frac 28= \frac {2\cdot 1}{8\cdot 8}=\frac 2{64}=\frac 1{32}=0,03125=3,125 \percent</tex>

i)

Oppgave 2

a)

b)

<math> g(x) = ax^2+bx+c \\ g(0) = -4 \Rightarrow C= -4 \\ g(x) = ax^2+bx-4 \\ g(2)= 0 \Rightarrow 4a+2b-4=0 \\ g(-2) =0 \Rightarrow 4a-2b-4 =0 </tex>

Legger sammen de to likningene og får:

8a-8=0

a=1

Innsatt i 4a + 2b- 4 = 0

Gir b=0, funksjonsuttrykket blir da

Del 2

Oppgave 3

a)

Siden trekant <math>ACD</tex> er rettvinklet er det greit å finne lengden <math>AC</tex> ved hjelp av Pytagoras setning:

<math> AC^2=AD^2+CD^2 \Leftrightarrow AC=\sqrt{AD^2+CD^2} =\sqrt{(3,0 m)^2 + (5,0 m)^2}=\sqrt{9,0 m^2 + 25 m^2}=\sqrt{34 m^2} \approx 5,8 m</tex>

b)

Cosinussetningen:

c)

Areal trekant ACD: <math>A= \frac {3,0m \cdot 5,0m}{2}= 7,5m^2</tex>

For å finne arealet av de tre andre trekantene trenger man å finne en del størrelser.

Bruker tangens og finner at:

Vinkel CAD = 59,04 grader

Vinkel DCA = 30,96 grader

Det fører til at

Vinkel BAE = 40,96 grader og

Vinkel ACB = 89,04 grader

Trekanten BCD er likebeint hvilket betyr at vinkel CBE = EDC = 30 grader.

Areal trekant BCD: <math>A= \frac 12 \cdot 5m \cdot 5m \cdot sin 120^{\circ}= 10,83m^2</tex>

Areal trekant ABD: <math>A = \frac 12 \cdot 3m \cdot \sqrt{75}m \cdot sin60^{\circ} = 11,22m^2</tex>

Areal trekant ABC: <math>A = \frac 12 \cdot 5m \cdot 7,6 m \cdot sin50^{\circ} = 14,55m^2</tex>

1)

OVE: ABD + BCD = <math>11,22m^2 + 10,83m^2 \approx 22,1m^2</tex>

2)

TOMMY: ABC + ACD =<math>14,55m^2 + 7,5m^2 \approx 22,1m^2</tex>

Oppgave 4

a)

Bruker fartsformelen <math>s=vt</tex>, der <math>s</tex> er strekningen Arne har syklet, <math>v</tex> er farten han sykler med, og <math>t</tex> er tiden han har brukt:

<math>s=s_1+s_2=v_1 \cdot t_1 + v_2 \cdot t_2 = \\ 12 \text{km/t} \cdot \frac {30 \text{min}}{60 \text{min}} + 18 \text{km/t} \cdot \frac {15 \text{min}}{60 \text{min}}= \\ 12 \text{km/t} \cdot \frac 12 \text{t}+ 18 \text{km/t} \cdot \frac 14 \text{t} = \\ 6 km + 4,5 km = 10,5 km\approx 11 km</tex>

b)

c)

Funksjonsuttrykket for de første 30 minuttene er:

<math>y=\frac {12}{60}x= \frac 15 x=0,20x</tex> gjelder når <math>x \in \left[0,30\right] </tex> (sagt med ord: når <math>x</tex> er fra og med 0 til og med 30).

Funksjonsuttrykket for de neste 30 minuttene er:

<math>y=\frac {18}{60}x= \frac 3{10} x=0,30x</tex> gjelder når <math>x \in \left\langle30,60\right] </tex>(sagt med ord: når <math>x</tex> er fra 30 til og med 60).

Oppgave 5

a)

Lager krysstabell, setter inn verdiene fra oppgaven og regner ut de andre slik at tabellen blir fullstendig:

	Briller B	Ikke briller <math>\bar{B}</tex>	Sum
Kontaktlinser L	<math>9,7 \percent</tex>	<math>7,2 \percent</tex>	<math>9,7 \percent +7,2 \percent=16,9 \percent</tex>
Ikke kontaktlinser <math>\bar{L}</tex>	<math>14,3 \percent</tex>	<math>100 \percent - (14,3 \percent +7,2 \percent+ 9,7 \percent)=68,8 \percent</tex>	<math>100 \percent -16,9 \percent =83,1 \percent</tex>
Sum	<math>24,0 \percent</tex>	<math>100\percent -24,0 \percent =76,0 \percent</tex>	<math>100 \percent</tex>

b)

Som vi regnet ut i tabellen i a) er sannsynligheten for at en person ikke bruker briller <math>76,0 \percent</tex>.

c)

Sannsynligheten for at en person som bruker briller også bruker kontaktlinser er:

<math>\frac{9,7\percent \cdot 100}{24 \percent}=40,4 \percent</tex>

Oppgave 6

a)

b)

Grafen har nullpunkt når <math>f(x)=0,5x^2-2x=0</tex>. Løser likningen <math>0,5x^2-2x=0</tex> for å finne nullpunktene:

<math>0,5x^2-2x=0 \Leftrightarrow x(0,5x-2)=0. \ \\ \text{Produktsetningen gir da at x=0 eller 0,5x-2=0. Det vil si at } x=0 \ eller \ 0,5x-2=0 \\ \Leftrightarrow 0,5x=2 \Leftrightarrow x=4</tex>.

Altså er <math>f(x)=0</tex> når <math>x=0</tex> og <math>x=4</tex>. Dette kan kontrolleres ved å finne verdien av f(x) når x=0, og når x=4 ved å sette inn henholdsvis 0 og 4 for x i likningen:

Det stemmer, altså er nullpunktene til funksjonen(på formen <math>(f(x),x)</tex>): (0,0) og (4,0).

c)

d)

Oppgave 7

Alternativ I

a)

<math>\left[{ 2y-x^2+2x=a \\ y-2x=3 }\right]</tex>

1)

Når a=6, er likningssettet: <math>\left[{ 2y-x^2+2x=6 \\ y-2x=3 }\right]</tex>. Dette kan f.eks løses ved å

<math>\left[{ 2y-x^2+2x=6 \\ y-2x=3 |\cdot -2}\right] \Leftrightarrow \left[{ (2y-x^2+2x=6) \\ \\+ \\ \\ (-2y+4x=-6)}\right] \Leftrightarrow 2y-2y-x^2+2x+4x=6-6 \Leftrightarrow -x^2+6x=0 x(6-x)=0 \Leftrightarrow x=0 \ eller \ x=6</tex>

Hvis x=0, er <math>y=2x+3=2\cdot 0+3=3</tex> eller hvis x=6, er <math>y=2x+3=2\cdot 6+3=15</tex>.

2)

b)

Setter inn x=1 og y=5 i den øverste likningen i likningssettet og løser for a:

<math>a=2y-x^2+2x=2\cdot 5-1^2+2\cdot 1=10-1+2=11</tex>. Altså må a være lik 11 for at x=1 og y=5 skal være en løsning til likningen.

c)

<math>2y-x^2+2x=a \Rightarrow y= 0,5x^2-x+ \frac a2 \\ y-2x=3 \Rightarrow y=2x+3 \\ \text{Setter funksjonene lik hverandre} \\ 0,5x^2-x+ \frac a2 = 2x+3 \\ 0,5x^2-3x+( \frac a2-3) =0 </tex>

Dersom man får null under rottegnet i abc formelen har man en løsning. Dersom man får et negativt tall under rottegnet har man ingen løsning. To løsninger får man når uttrykket under rottegnet er positivt.

Man observerer at når a er større enn 15 er uttrykket negativt og likningsettet har ingen løsning.

Når a = 15 har det en løsning.

Når a er mindre enn 15 har settet to løsninger.

Alternativ II

a)

Vi deler opp arealet i to. Huset består av et kvadrat med areal <math>a \cdot a =a^2</tex>

og et rektangel med areal <math>3a(10-a) = 30a-3a^2</tex>

Det totale arealet blir da: <math>a^2 +(30a-3a^2) = 30a-2a^2 </tex>

<math>a=5 \Rightarrow 30 \cdot 5 - 2 \cdot 5^2 = 100</tex> kvadratmeter

b)

c)

Når a = 7,5m er huset 112,5 kvadratmeter

d)

Huset er større enn 72 kvadrat meter når a er større enn 3m og mindre enn 12m

1T 2010 vår LØSNING