R1 2008 vår LØSNING
Del 1
Oppgave 1
a)
<tex>f(x) = x^2 \cdot lnx \\ f'(x) = 2x \cdot lnx + \frac 1x \cdot x^2 = 2xlnx+x = (2lnx+1)x</tex>
b)
<tex>\quad(x^3-4x^2+x+6):(x-2) =x^2 -2x - 3 \\ -(x^3-2x^2)\\ \quad \quad \quad\quad \quad -2x^2+x \\ \quad \quad \quad -(-2x^2+4x) \\ \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad -3x+6 \\ \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad -(-3x+6)\\ \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad0</tex>
c)
<tex>\lim_{x\to 8} \frac{x^2-64}{2x+16} =\lim_{x\to 8} \frac{(x-8)(x+8)}{2(x-8)}= \lim_{x\to 8} \frac{(x+8)}{2}=8 </tex>
d)
<tex>lg(x \cdot y^2)-2lgy+ lg(\frac{x}{y^2}) = lgx + 2lgy - 2lgy +lgx - 2lgy = 2(lgx-lgy)= 2lg ( \frac xy)</tex>
e)
1)
<tex>f(x) = xe^{-x} \\ f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x}-xe^{-x} = (1-x)e^{-x}</tex>
2)
<tex>f(x) = (x-2)e^{-x}\\f(x)=0 \Rightarrow x=2 \\ \text{Vendepunkt:}\quad(2,f(2)) = (2,2e^{-2}) = (2, \frac{2}{e^2})</tex>
Oppgave 2
a)
Dersom vektorene står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet null:
<tex>\vec{u}\cdot\vec{v}= 0 \\ -ab + ab = 0</tex>
b)
<tex> l: \left [ x = 3-t \\ y = 4+4t \right]</tex>
Linjen <tex>CF_3</tex> går gjennom punktet C som har koordinatene (3,4). Linjen står vinkelrett på AB og skalarproduktet mellom rettningsvektorene må være null:
<tex>[-1,4]\cdot[4,1] = 0</tex>
Hvilket betyr at l er en parameterfremmstilling for <tex>CF_3</tex>
c)
Linjen <tex>AF_1</tex> går gjennom punktet (1,0). Linjen står vinkelrett på BC. Stigningstallet til <tex>AF_1</tex> blir da:
<tex>- \frac 32 \cdot x = -1 \\ x = \frac 23 </tex>
som gir rettningsvektor [3,2] og parameterfremmstilling:
<tex> l: \left [ x = 1+3s \\ y = 2s \right]</tex>
d)
<tex> \left [ 3-t = 1+3s \wedge 4+4t = 2s \\ s = 2 + 2t \wedge 3-t = 1 + 6 + 6t \\ t = - \frac 47 \right]</tex>
Skjæringspunkt blir da:
<tex> x = 3 - (- \frac 47) = \frac{25}{7} \\ y= 4 + (- \frac 47) = \frac {12}{7}</tex>
e)
En parameterfremmstilling for <tex>BF_2 = \left[ x = 5 - 2s \\ y = 1 + s \right] </tex>
<tex>\left[5-2s = 3-t \wedge 1+s = 4+4t \\t= - \frac47 \right] </tex>
<tex> \left[ x= 3-t = \frac{25}{7} \\ y = 4+4t = \frac {12}{7}\right]</tex>
Høydene i en trekant skjærer hverandre i et punkt, ortosenteret.
Del 2
Oppgave 3
a)
Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegging:
<tex>nCr = \left ({n}\\{c} \right) = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = 2598960</tex> muligheter.
b)
A: Man får utdelt 5 kort tilfeldig, og alle skal være spar. Det er et uordnet utvalg uten tilbakelegging
<tex>P(A) = \frac{ \left ({13}\\{5} \right) }{\left ({52}\\{5} \right)} =0,0005</tex>
B: Man får utdelt 5 kort tilfeldig, og alle skal være svarte. Det er et uordnet utvalg uten tilbakelegging
<tex>P(B) = \frac{ \left ({26}\\{5} \right) }{\left ({52}\\{5} \right)} =0,025</tex>
c)
Man vet at alle kortene på hånden er svarte. Sannsynlighete for at de er spar:
<tex>P(A|B)= \frac{ \left ({13}\\{5} \right) }{\left ({26}\\{5} \right)} = 0,02 </tex>
Dersom A og B er uavhengige hendelser er
<tex>P(A|B) = P(A)</tex>
Som man ser er det ikke tilfelle her. A og B er avhengige hendelser.
Oppgave 4
Alternativ I
a)
En funksjon vokser når den deriverte er positiv. f vokser for x verdier fra en til tre.
b)
f har et minimumspunkt når x = 1, da er den deriverte null og skifter fra negativ til positiv verdi.
f har et maksimumspunkt når x = 3, da er den deriverte null og skifter fra positiv til negativ verdi.
f har et vendepunkt når x = 2.Den deriverte har et maksimumspunkt, og f skifter fra å vende sin hule side opp, for x verdier mindre enn 2, til å vende sin hule side ned for verdier større enn 2.
c)
<tex>f'(x) = ax^2+bx+c \\ f'(0) = - 3 \Rightarrow c = -3 \\ f'(1) = 0 \Rightarrow a+b-3=0 \\ x= \frac{-b}{2a} \Rightarrow b = -4a \\ a-4a -3 = 0 \Rightarrow a =-1 \quad \wedge \quad b=4 \\ f'(x) = -x^2+4x-3</tex>
d)
Dersom man deriverer f får man uttrykket for f' gitt i oppgave 4c. f går gjennom origo fordi f(0) = 0.
Alternativ II
a)
Lengden av DB er <tex>\sqrt{1-x^2}</tex>
Grunnlinjen i trekanten ABC er 2DB =<tex>2 \sqrt{1-x^2} </tex>
Høyden i trekanten ABC er 1+x
Arealet av ABC er <tex>A= \frac 12gh = \frac 12 \cdot 2 \sqrt{1-x^2}(1+x) = (1+x)\sqrt{1-x^2} </tex>
b)
Når x=0,5 er arealet 1,3. Dette er det største arealet ABC kan ha.
c)
<tex>F'(x) = \sqrt{1-x^2}+(x+1)\frac {1}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x) = \\ \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2+x}{\sqrt{1-x^2}} = \\ \frac{1-x-2x^2}{\sqrt{1-x^2}} </tex>
Setter <tex> F'(\frac12)</tex> og får:
<tex>1- \frac 12 - 2 \cdot \frac 14 = 0</tex>
Dette er i sammsvar med oppgave b, da den deriverte i toppunktet er lik null.
d)
<tex> x= \frac 12 \\ DC = \frac 32 \\ AB = 2\sqrt{1- \frac 14} = \sqrt3 \\AC = BC = \frac{\sqrt{13}}{2}</tex>
Oppgave 5
a)
<tex>S_1S_2</tex> er summen av radiusene i <tex>S_1</tex> og <tex>S_2</tex>, altså a+b.
<tex>S_1S_2 = a + c</tex>
<tex>S_2S_3 = b + c</tex>
b)
<tex> (a+b)^2 = (a-b)^2 + (AC)^2 \\ (AC)^2 = a^2+2ab+b^2 -a^2 +2ab -b^2 = 4ab \\ AC = 2\sqrt{ab}</tex>
c)
<tex> (a+c)^2 = (a-c)^2 + (AB)^2 \\ (AB)^2 = a^2+2ac +c^2 -a^2 +2ac -c^2 = 4ac \\ AB = 2\sqrt{ac}</tex>
<tex> (b + c)^2 = (b -c)^2 + (BC)^2 \\ (BC)^2 = b^2+2bc+ c^2 -b^2 +2bc - c^2 = 4bc \\ BC = 2\sqrt{bc}</tex>
d)
<tex> AC = AB + BC \\ 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{ac} + 2\sqrt{bc} \\ \sqrt{ab} =\sqrt{ac} + \sqrt{bc} \\ \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{abc}} = \frac {\sqrt{ac}}{\sqrt{abc}} + \frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{abc}} \\ \frac{1}{\sqrt c} = \frac{1}{\sqrt b} + \frac{1}{\sqrt a} </tex>
e)
<tex> \frac{1}{\sqrt c} = \frac{1}{\sqrt b} + \frac{1}{\sqrt a} \\a = b = r \\ \frac{1}{\sqrt c} = \frac{1}{\sqrt r} + \frac{1}{\sqrt r} \\ \frac{1}{\sqrt c} = \frac{2}{\sqrt r}\\ 2 \sqrt c = \sqrt r \\ c = \\frac r4</tex>
f)
