R2 2009 høst LØSNING

Del 1

Oppgave 1

a)

<tex>f(x)=x^2\sin(x)\Rightarrow f'(x)=(x^2)'\sin(x)+x^2(\sin(x))'=2x\sin(x)+x^2\cos(x)</tex>

b)

Radianer er en måte å måle vinkler på der en rett linje tilsvarer <tex>\pi</tex> radianer. Sammenhengen mellom grader og radianer er gitt ved at <tex>w=\frac{v}{180}\pi</tex> der <tex>v</tex> er grader og <tex>w</tex> radianer.

c)

Vi har multipliserer med integrerende faktor <tex>e^{\int 2\,dx} \, =e^{2x}</tex> og får at <tex>y'e^{2x}+2ye^{2x}=3xe^{2x} </tex>. Omskrivning av venstre side gir at <tex>(ye^{2x})'=3xe^{2x}</tex>. Integrasjon gir videre at <tex>ye^{2x}=\int 3xe^{2x}\,dx=[\frac32 xe^{2x}]-\int \frac32 e^{2x}\,dx=\frac32 xe^{2x}-\frac{3}{4}e^{2x}+C</tex>. Multiplikasjon med <tex>e^{-2x}</tex> gir til slutt at <tex>y=\frac32 x-\frac{3}{4}+Ce^{-2x}</tex>. Startbetingelsen <tex>y(0)=3</tex> gir at <tex>y(0)=3=-\frac34+C</tex>, så <tex>C=3+\frac34=\frac{15}{4}</tex>, og <tex>y(x)=\frac32 x-\frac{3}{4}+\frac{15}{4}e^{-2x}</tex>

Del 2

Oppgave 3

a)

Arealet av trekanten kan skrives på to måter:

<tex> \frac {a \cdot b} {2} = \frac {c \cdot h} {2} </tex> dvs

<tex> a \cdot b = c \cdot h </tex>

Pytagoras gir

<tex> a^2 + b^2 = c^2</tex> der <tex> c= \frac{ab}h </tex> (fra injene over)

Det gir:

<tex> a^2 + b^2 =( \frac{ab}h)^2</tex>

<tex> a^2 + b^2 = \frac{a^2b^2}{h^2} </tex>

<tex> \frac{a^2}{a^2b^2} + \frac{b^2}{a^2b^2} =\frac{1}{h^2} </tex>

<tex> \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} =\frac{1}{h^2} </tex> Hvilket skulle vises.

b)

<tex> \vec{AB} \times \vec{AC} = [bc,ac, ab] </tex>

Arealet av trekanten blir da

<tex> \frac12 \sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2} </tex>

c)

<tex> F_{\triangle ABC}^2 = F_{\triangle OAC}^2+F_{\triangle OBC}^2+F_{\triangle OAB}^2</tex>

Fra b har man at

<tex> F_{\triangle ABC}^2 = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</tex>

Man finner så arealet av de tre andre trekantene ved å bruke vektorproduktet, og får:

<tex> F_{\triangle OAC}^2 = \frac14 (a^2C^2)</tex>

<tex> F_{\triangle OBC}^2 = \frac14 (b^2c^2)</tex>

<tex> F_{\triangle ABC}^2 = \frac14 (a^2b^2)</tex>

Man ser da et arealsetningen er riktig.

d)

Volumet av figuren OABC kan skrives:

<tex> \frac 12 \cdot a \cdot b \cdot c \cdot \frac13 = F_{\triangle ABC} \cdot h \cdot \frac13 </tex>

som gir:

<tex> F_{\triangle ABC} = \frac{ a \cdot b \cdot c}{2h}</tex>

e)

Man har:

<tex> F_{\triangle ABC}^2 = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</tex> og <tex> F_{\triangle ABC} = \frac{ a \cdot b \cdot c}{2h} </tex>

Kombinert gir det

<tex> (\frac{ a \cdot b \cdot c}{2h})^2 = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</tex>

<tex> \frac{ a^2 \cdot b^2 \cdot c^2}{4h^2} = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</tex>

<tex> \frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} </tex>