Figurer i rommet
Volum og Overflate
Dersom grunnflaten G og toppflaten T er to parallelle, kongruente plan er volumet gitt ved:
V = Grunnflate · høyde = G · h
Legemets overflate er gitt ved:
O = 2 · Grunnflate + Omkrets Av Grunnflate · høyde
Terning
En terning, eller kube, er en romfigur som avgrenses av seks kvadratiske flater. Alle sidekantene har derfor samme lengde. Dersom sidekantene av terningen er lik a, kan terningen se slik ut:
Overflaten av en terning blir summen av de seks kvadratenes areal:
<tex>O = 6a^2</tex>
Eks:
En terning har sidekanter seks centimeter. Hva er overflaten av terningen?
<tex>O = 6 \cdot (6cm)^2 = 216cm^2</tex>
Eks:
En tening har en overflate på <tex>432cm^2</tex>. Hvor lange er sidekantene i terningen?
<tex>O = 6a^2 \Rightarrow a = \sqrt{\frac O6} = \sqrt{ \frac{432cm^2}{6}}= 8,5cm</tex>
Volumet av en terning er lengde ganger bredde ganger høyde. Siden disse har samme lengde kan vi skrive volumet som:
<tex>V = a\cdot a \cdot a = a^3</tex>
Eks:
Sidekantene i en terning er 2cm. Hva er volumet av terningen?
<tex>V = a\cdot a \cdot a = a^3 = (2cm)^3 = 8cm^3</tex>
Eks
En kube har et volum på <tex>125cm^3</tex>. Hva er lengden av en sidekant?
<tex>V = a\cdot a \cdot a = a^3 \Rightarrow a= \sqrt[3] V = \sqrt[3]{125cm^3}= 5cm</tex>
Prisme
Et prisme er en romfigur der grunnflate og toppflate er like, og med rektangulære sideflater som står vinkelrett på grunnflaten. Det finnes altså prismer med svært forskjellig form. Et rett firkantet prisme kan se slik ut:
Arealet av prismets grunnflate er lengde gange bredde. Når vi multipliserer arealet av grunnflaten med høyden, finner vi volumet.
Grunnflate = lengde · bredde = l · b
Volum : V = Grunnflate · h = l · b · h
Eks:
Et rett prisme har siden 4cm, 10cm og 20cm. Hva er volumet av prismet?
V = Grunnflate · h = l · b · h vi får:
<tex> V = l \cdot b \cdot h = 4cm \cdot 10cm \cdot 20cm = 800cm^3</tex>
(Hva man kaller for bredde, lengde og høyde spiller egentlig ingen rolle, for et rett firkantet prisme. Det kommer jo an på hvordan prismet står eller ligger. Grunnflaten er den siden som vender ned mot jorden)
Eks:
Volumet av et rett firkantet prisme er 200 kubikkcentimeter. Høyden er 5 cm og bredden er 2cm. Hva er lengden av prismet?
<tex>V = l \cdot b \cdot h \Rightarrow l = \frac{V}{bh}= \frac{200cm^3}{2cm \cdot 5cm} = 20cm</tex>
Et rett firkantet prisme er avgrenset av flater hvor to og to er like. Overflaten blir:
Overflate: O = 2lb + 2lh + 2bh
Et firkantet prisme har høyden 12cm. Sidene i grunnflaten er henholdsvis 10cm og 20 cm. Hva er overflaten av prismet?
Siden to og to sider er like store får vi:
<tex> O = 2 \cdot 10cm \cdot 20cm + 2 \cdot 10cm \cdot 12cm + 2 \cdot 20cm \cdot 12cm = 400cm^2 + 240cm^2 + 480cm^2 = 1120cm^2</tex>
Dette er også et prisme:
Sylinder
Volum:
<tex>V = Gh= \pi \cdot r^2 \cdot h </tex>
Eks:
En sylinder har høyde 20 cm og radius 5cm. Hva er volumet?
<tex>V = Gh= \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot (5cm)^2 \cdot 20cm = 1570,8 cm^3 = 1,57 dm^3 = 1,57 liter </tex>
Overflate:
<tex> O = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h </tex>
Man regner her med at sylinderen har et lokk, altså en overflate på toppen også. Dersom den ikke har det blir overflaten:
<tex> O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h </tex>
<tex> O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h </tex>
Pyramide
Volum:
<tex>V= \frac 13 Gh </tex>
En pyramide har en rektangulær grunnflate med sider 4cm og 2cm. Høyden er 10 cm. Hva er volumet av pyramiden?
<tex>V </tex>
Overflaten av en pyramide er summen av alle sidenes areal.
Kjegle
Volum:
<tex>V = \frac{1}{3}\pi r^2h </tex>
Eksempel
En kjegle har en grunnflate med radius 5cm. Høyden i kjeglen er 12 cm. Hva er volumet av kjeglen?
<tex>V = \frac{1}{3}\pi r^2h = \frac 13 \pi (5cm)^2 \cdot 12cm = 314 cm^3</tex>
Eksempel
En kjegle med volum <tex>400cm^3</tex> har høyden 4cm. Hva er radiusen i kjeglens grunnflate?
<tex>V = \frac{1}{3}\pi r^2h \quad \Rightarrow \quad 400cm^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot 4cm \quad \Rightarrow \quad
r^2 = \frac{3 \cdot 400cm^3}{4cm}\quad \Rightarrow \quad r= 17,3 cm </tex>
Eksempel
En kjegle har en grunnflate med radius 6cm og et volum på <tex>300cm^3</tex>. Hva er kjeglens høyde?
<tex>V= \frac 13 \pi r^2h \Rightarrow h = \frac{3V}{\pi r^2} \Rightarrow h =\frac{3 \cdot 300cm^3}{\pi 36cm^2}= 8cm </tex>
Overflate:
<tex> 0 = \pi r^2 + \pi rs</tex>
s er siden av kjeglen og finnes ved å bruke pytagoras:
<tex> s = \sqrt{h^2 + r^2}</tex>
Eksempel
En kjegle har høyde 4cm og radiusen i grunnflaten er 3 cm. Hva er kjeglens overflate?
Finner først s:
<tex> s = \sqrt{r^2+h^2}= \sqrt{9cm^2+16cm^2} = 5cm </tex>
Overflaten blir da:
<tex> 0 = \pi r^2 + \pi rs = \pi \cdot (3cm)^2 + \pi \cdot 3cm \cdot 5cm = 75,4cm^2</tex>
Eksempel
Finn overflatearealet og volumet av kjeglen.
Her kjenner vi S og r og finner høyden h ved å bruke pytagoras:
<tex> h = \sqrt{(10cm)^2 - (7cm)^2}= 7,14cm </tex>
Volumet blir:
<tex>V= \frac 13 \pi r^2h = \frac 13 \pi \cdot (7cm)^2 \cdot 7,14cm = 366 cm^3</tex>
Kule
Volum:
<tex>V = \frac{4}{3}\pi r^3 </tex>
Eksempel
En kule har radius 4 cm. Hva er volumet?
<tex>V = \frac{4}{3}\pi (4cm)^3 = 268,1 cm^3 </tex>
Eksempel
En kule har volum <tex>712cm^3</tex>. Hva er radiusen?
<tex>V = \frac{4}{3}\pi r^3 \\ r = \sqr[3]{\frac{2V}{4 \pi}} \\ r = \sqr[3]{\frac{3 \cdot 268,1 cm^3}{4 \pi}} = 4</tex>
Overflate:
<tex>O = 4 \pi r^2 </tex>
Eksempel
En kule har radius 6 cm. Hva er overflaten?
<tex>O = 4 \pi r^2 = 4 \pi (6cm)^2 = 452,4 cm^2 </tex>
Eksempel
En kule har overflate <tex>400cm^2</tex>. Hva er diameteren?
<tex> O = 4 \pi r^2 \\ r= sqrt{ \frac{O}{4 \pi}} \\ r= sqrt{ \frac{400 cm^2}{4 \pi}}= 5,64</tex>
d = 2r = 11,3 cm.