Geometriske rekker
Geometrisk progresjon
En geometrisk progresjon <tex>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</tex> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k</tex>.
Slike tallfølger kan skrives på formen <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex>
Geometrisk rekke
En geometrisk rekke er summen av elementene i en geometrisk progresjon.
For geometriske rekker <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex> er <tex>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</tex>
Bevis for summeformel
Betrakt tallet <tex>(k-1)(1+k+k^2+k^3+ \ldots +k^n)</tex>. Ganger vi ut parentesene, får vi <tex>(k+k^2+k^3+ \ldots + k^{n+1})-(1+k+k^2+k^3+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</tex>. Men dersom
<tex>(k-1)(1+k+k^2+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</tex>
kan vi dele med faktoren <tex>(k-1)</tex> på begge sider og få
<tex>\sum_{i=0}^{n}k^i = 1+k+k^2+ \ldots + k^n = \frac{k^{n+1}-1}{k-1} </tex>
Multipliserer vi så med <tex>a_1</tex> på begge sider, vil vi oppnå summeformelen, og beviset er ferdig.
Uendelige geometriske rekker
Dersom <tex>-1<k<1</tex> i en geometrisk tallfølge <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex> sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.
I slike tilfeller er <tex>\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}</tex>