Bevis for cosinussetningen

Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.

Spissvinklede:

Bruker pytagoras på trekanten ADC:

<tex>x^2 + h^2 = b^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</tex>

Bruker pytagoras på trekanten DBC:

<tex>h^2 + (c-x)^2 = a^2</tex>

Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre:

<tex>b^2 - x^2 + c^2 - 2cx + x^2 =a^2 \\

a^2 = b^2 + c^2 -2cx</tex>

Finner cosA:

<tex>cosA = \frac xb \Rightarrow x = b \cdot cosA</tex>

og får:

<tex>a^2 = b^2 + c^2 -2bc cosA</tex>

Stompvinklede:

Bruker pytagoras på trekanten DBC:

<tex>a^2 = h^2 + (c+x)^2 \\ a^2 = h^2 + c^2 +2cx + x^2</tex>

Bruker pytagoras på trekanten DAC:

<tex>b^2 = x^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</tex>

Kombinere resultatene og får:

<tex>a^2 = b^2 - x^2 + c^2 +2cx + x^2 \\ a^2 = b^2 + c^2 + 2cx</tex>

Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man:

<tex>cos(180 - A) = - cosA = \frac xb \Rightarrow x = -bcosA </tex> som gir:

<tex>a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA</tex>

---