Likninger av første grad
Innledning
I matematikk er det vanlig å bruke bokstaver som erstatning for tallverdier. Bokstaver kan symbolisere tall som vi kjenner, for eksempel π som har tallverdi 3,14. Bokstavene kan også symbolisere tallverdier som vi ikke kjenner, men som vi ønsker å finne. I slike tilfeller bruker vi gjerne bokstavene x, y eller z.
I et spesielt regnestykke kan x kun ha en tallverdi, men x kan ha forskjellige verdier i forskjellige regnestykker.
La oss se på noen eksempler:
Per og Kari har til sammen 5 epler. Per har to. Hvor mange har Kari?
Dette stykket greier du sikkert i hodet, men la oss sette det opp som en ligning slik at vi lærer oss tenkemåten. La oss kalle antall epler som Kari har for x.
Per + Kari = tilsammen
2 + ? = 5
Som likning kan dette skrives:
2 + x = 5
Tenk på en skålvekt. En skålvekt er i likevekt dersom lasten er den samme i begge skålene. Vi kan legge på mer last på vekten, men for at den skal være i likevekt må vi legge like mye i begge skålene. Vi kan også fjerne last fra skålvekten, men vi må fjerne like mye fra begge skålene for at likevekten skal holde seg. Gjør vi ikke det kommer vekten ut av balanse.
Tenk deg at likhetstegnet i vår ligning er balansepunket på skålvekten. Vi kan legge til og trekke fra på begge sider, vi kan gange og dele, men det er viktig at vi gjør det samme på begge sider av likhetstegnet. Gjør vi ikke det kommer "vekten" ut av balanse.
Situasjonen med Per og Kari ser slik ut:
Kari's epler befinner seg i sekken. Vår oppgave er å finne antall epler i sekken, x.
Dersom vi fjerner to epler på hver side av skålvekten ser det slik ut:
På matematikkspråk kan vi skrive det slik:
2 + x = 5
Dersom vi trekker bort to fra hver side av likhetstegnet får vi:
2 + x - 2 = 5 - 2
x = 5 - 2
"flytt og bytt" er en huskeregel, men det er viktig å forstå at man trekker fra samme tall på begge sider av likhetstegnet.
Med "flytt og bytt" mener man at man flytter leddet som ikke inneholder x over på høyre side av likhetstegnet og bytter fortegn. Likedan kan man flytte ledd som inneholder x fra høyre til venstre side av likhetstegnet og skifte fortegn. Det man i virkeligheten gjør er å trekke fra like mange på hver side.
Når vi løser en ligning er det vår oppgave å få x alene på venstre side av likhetstegnet.
Ligning med x som ledd
Man flytter alle ledd med x på venstre side og alle ledd uten x på høyre side av likhetstegnet. Husk å bytt fortegn på de ledd som flyttes. Trekk sammen på begge sider av likhetstegnet.
Eksempel 1:
<tex>5x + 3x + 6 - 2 = 7x + 6 \quad \quad</tex>Samler først alle ledd med x på venstre side og alle konstanter på høyre side. Skifter fortegn på de ledd som bytter side.
<tex> 5x + 3x - 7x = 6 - 6 + 2 \quad \quad</tex> Trekker sammen på begge sider.
<tex> x = 2 </tex>
Ligning med x som faktor
Løsningen er å dividere alle ledd på begge sider av likhetstegnet med tallet som står foran x.
Eksempel 2:
<tex>5x = x + 8 \quad \quad</tex> Flytter over x på venstre side og skifter fortegn.
<tex> 5x - x = 8 \quad \quad</tex> Trekker sammen
<tex> 4x = 8 \quad|:4 \quad \quad</tex>Deler begge sider av likhetstegnet på det tallet som står forran x, i dette tilfelle 4.
<tex> x = 2 </tex>
Ligninger med x i teller
Løsningen er å multiplisere alle ledd på begge sider av likhetstegnet med tallet i nevner.
Eksempel 1:
<tex> \frac{x}{2}+ x - 10 = 20 \quad | \cdot 2 \quad \quad</tex> Multipliserer alle ledd med 2, for å fjerne brøken.
<tex> x + 2x - 20 = 40\quad \quad </tex> Flytt over og bytt fortegn
<tex> 3x = 60 \quad \quad</tex> Deler begge sider på tre.
<tex> x = 20 </tex>
Ligninger med x i nevner
Løsningen er å multiplisere alle ledd på begge sider av likhetstegnet med x.
Eksempel 1:
<tex> \frac{2}{x}+ 10 = 12 \qquad \qquad \qquad x \neq 0 \qquad \qquad \qquad</tex> Multipliserer alle ledd med 2, for å fjerne brøken
<tex> 2 + 10x = 12x \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad </tex> Flytt over og bytt fortegn
<tex> -2x = -2 \qquad \qquad \qquad</tex>
<tex> x = 1 </tex>
Ofte vil ligningene du løser være en kombinasjon av disse:
Eksempel 2:
<tex> 3x + \frac{x}{2} = 4 - \frac{2}{x} + \frac{7x}{2} \qquad \qquad \qquad x \neq 0 \qquad \qquad \qquad</tex> Multipliserer alle ledd med 2x, for å fjerne brøken
<tex> 6x^2 + x^2 = 8x - 4 + 7x^2 \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad </tex> Flytt over og bytt fortegn. Legg merke til at andregradsleddene forsvinner.
<tex> -8x = -4 </tex>
<tex> x = \frac12 </tex>
Prøve på Svaret
Hvordan kan vi være sikre på at utregningene i eksemplet over er riktige? Et godt hjelpemiddel er å sette prøve på svaret. Det betyr at vi setter inn den x verdien vi har funnet i ligningen. Vi behandle hver side av likhetstegnet for seg. Dersom svaret vi får blir det samme på begge sider av likhetstegnet har vi med stor sannsynlighet regnet riktig.
Vi tester svaret over:
Eksempel
<tex>VS: \qquad \qquad 3 \cdot \frac12 + \frac{\frac12}{2} = \frac32 + \frac 14 = \frac 74 </tex>
<tex>HS:\qquad \qquad 4 - \frac{2}{\frac12} + \frac{7\cdot \frac12}{2}= 4 - 4 + \frac74 = \frac74</tex>
Vi ser at vi får det samme på begge sider og kan konkludere med at x verdien vi fant er riktig.
Gjør det til en regel at du setter prøve på svaret, selv om det ikke alltid spørres etter det.
Dagligdags Bruk - tekststykker
Når du har lært regnereglene blir utfordringen å omforme dagligdagse problemer til ligninger. Dette er et meget slagkraftig redskap, når du lærer å bruke det:
Eksempel 1:
Astrid er halvparten så gammel som Thorild. Knut er tre år eldre enn Thorild. Til sammen er de 53 år gamle. Hvor gammel er Astrid, Thorild og Knut?
Løsning:
Vi kaller alderen til Thorild for <tex>x.</tex>
Knut er: <tex>x+3</tex>
Astrid er: <tex> \frac x2</tex>
Når man legger sammen alderen til de tre, får følgende likning:
<tex> \frac x2 + x + (x+3)=53</tex>
<tex> 2,5x =50</tex>
<tex> x =20</tex>
Siden x er 20 betyr det at Thorild er 20 år, Astrid er 10 år og Knut 23 år gammel.
Operasjonenesrekkefølge
Dersom man har en ligning med både brøk og parentes kan den løses etter følgende oppskrift:
- multipliser ut parentesene
- sett parenteser rundt brøker med negative fortegn, dersom de har flere ledd i teller
- fjern brøkene ved å multiplisere alle ledd på begge sider av likhetstegnet med minste felles multiplum
- flytt og bytt slik at alle x ledd kommer på venstre side og alle ledd uten x på høyre side trekk sammen
- divider begge sider på koeffisienten foran x