R1 2024 Høst LØSNING
Diskusjon av oppgaven på matteprat
Løsningsforslag av Lektor Seland
DEL EN
Oppgave 1
Deriverer f:
Oppgave 2
Programmet leter etter toppunktet til funksjonen
Programmet løper gjennom en while løkke og sjekker funksjonsverdien O(x+1) i forhold til O(x). Så lenge O(x+1)> O(x) fortsetter løkken. Når det ikke lenger er tilfellet, skriver det ut x- verdien.
Vi deriver O og setter uttrykket lik null.
Programmet skriver ut 10000, som er x verdien som gir størst funksjonsverdi.
Oppgave 3
Vi er bare interessert i den positive verdien fordi vi ikke kan opphøye 10 i noe som gir en negativ verdi.
Oppgave 4
Oppgave 5
a)
Lengden av vektorene avgjøres av koordinatenes avstand fra origo. x og y koordinatene er katetene i en trekant der hypotenusen er selve vektoren. For lengden del er vi bare interessert i absoluttverdien og ser da at u og w vektor er like lange, altså
Ortogonale er et annet ord for vinkelrett på hverandre. Da er skalarproduktet lik null.
Disse to er det eneste som står vinkelrett på hverandre. Alle andre skalarprodukter her er forskjellig fra null, og da har man ikke ortogonalitet.
b)
Oppgave 6
Både g og f tilfredsstiller kravet om gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [0,4]. g har derivert lik 0,5 for alle x, så det er kun f som tilfredsstiller kravene.
DEL TO
Oppgave 1
a)
Vannmengden er halvert etter 10 timer og 38 minutter.
b)
Den 12 timen reduseres vannmengden med ca 302 liter. Lekkasjen blir ca. 21 liter mindre i løpet av denne timen.
Vi ser at den deriverte av V er negativ. Det betyr at V minker. Den dobbeltderiverte av V, eller den deriverte av den deriverte, er positiv. Det betyr at den negative verdien til V derivert blir mindre negativ, altså at lekkasjen blir mindre.
c)
Fra figuren i a ser man at vannmengden nærmer seg 500 liter når tiden blir høy, så y = 500 er en horisontal asymptote.
En praktisk tolkning kan være at lekkasjen ikke er helt i bunnen, men et lite stykke oppe på reservoarveggen, slik at de 500 literne aldri renner ut.
Oppgave 2
a)
Begge går mot samme grenseverdi når x går mot pluss eller minus uendelig. Påstanden er feil.
b)
Det er riktig. Funksjonen er ikke deriverbar for X = 0.
Grafen har et knekkpunkt for x = 0 og er ikke deriverbar i dette punktet.
c)
Påstanden er feil for
a= - 1 gir løsninger når både x og y er partall, eller når begge er oddetall
Oppgave 3
a)
Modellen foreslår 1,6 tusen = 1600 fisk som startverdi, og en vekst på 63% per måned.
b)
Bæreevne: B = 111 370 fisk
Vekstparameter: r = 0,52
For å finne hva modellen bruker som startverdi løser v i
Det gir en startverdi på 1950 fisk.
c)
Den deriverte til g vokser i det uendelige, mens grafen til den logistiske modellen(h) har et vendepunkt etter 7- 8 måneder. Der deriverte blir mindre, veksten reduseres, for så å flate ut etter ca. 15 måneder.
d)
Den logistiske modellen er mest realistisk. Resursene er begrenset, i tette populasjoner kan sykdom opptre og enkelte individer blir også mat for andre i næringsnettet. Etter 12 mnd. er det ca. 100 000 individer.
Oppgave 4
Logaritmen til basisen for logaritmen er 1. Eksempelvis er
(Hvilket tall gir deg 25 dersom du opphøyer det i andre? Fra figur i oppgaven)
Oppgave 5
a)
Dersom en hvilket som helst rett linje parallell med x aksen skjærer grafen i ett og bare ett punkt, er den en-entydig og kan ha en omvendt funksjon. Vi ser at h ikke oppfyller kravet. f og g har omvendte funksjoner, men ikke h.
b)
Den første funksjonen ser ut til å kunne være en andregradsfunksjon. Den skjærer y aksen i 3 og øker så med 1 når x=1 og med 4 når x=2. Det passer med funksjonen
Oppgave 6
a)
Legger inn posisjonsvektorene i cas og deriverer.
Fugl 1 har en fart på 6,7 m/s og fugl 2 en fart på 6,4 m/s.
b)
Bruker posisjonsvektorene fra a) og får:
Avstanden var 37 meter.