R1 2024 Høst LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag av Lektor Seland


DEL EN

Oppgave 1

f(x)=e2xx

Deriverer f: f(x)=(e2x)x+xe2xx2=2xe2x+e2xx2=e2x(2x+1)x2

Oppgave 2

Programmet leter etter toppunktet til funksjonen O(x)=0,1x2+2000x50000.

Programmet løper gjennom en while løkke og sjekker funksjonsverdien O(x+1) i forhold til O(x). Så lenge O(x+1)> O(x) fortsetter løkken. Når det ikke lenger er tilfellet, skriver det ut x- verdien.

Vi deriver O og setter uttrykket lik null.

0,2x+2000=0

x=20000,2=10000

Programmet skriver ut 10000, som er x verdien som gir størst funksjonsverdi.


Oppgave 3

100x310x=4

(102)x310x4=0

(10x)2310x4=0

10x=3±9+162

10x=3±52

Vi er bare interessert i den positive verdien fordi vi ikke kan opphøye 10 i noe som gir en negativ verdi.

10x=4

x=lg(4)

Oppgave 4

limxx2+x122x218

limxx2x2+xx212x22x2x218x2

limx1+1x12x2218x2=12

Oppgave 5

a)

Lengden av vektorene avgjøres av koordinatenes avstand fra origo. x og y koordinatene er katetene i en trekant der hypotenusen er selve vektoren. For lengden del er vi bare interessert i absoluttverdien og ser da at u og w vektor er like lange, altså |u|=|w|.

Ortogonale er et annet ord for vinkelrett på hverandre. Da er skalarproduktet lik null.

up=(38)+((2)12)=2424=0

Disse to er det eneste som står vinkelrett på hverandre. Alle andre skalarprodukter her er forskjellig fra null, og da har man ikke ortogonalitet.

b)

u+2q=[7,5]

[3,2]+2[2a3,1+3b]=[7,5]

[3+4a6,2+2+6b]=[7,5]

4a3=76b=5

a=52b=56

Oppgave 6

Både g og f tilfredsstiller kravet om gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [0,4]. g har derivert lik 0,5 for alle x, så det er kun f som tilfredsstiller kravene.

DEL TO

Oppgave 1

a)

Vannmengden er halvert etter 10 timer og 38 minutter.

b)

Den 12 timen reduseres vannmengden med ca 302 liter. Lekkasjen blir ca. 21 liter mindre i løpet av denne timen.

Vi ser at den deriverte av V er negativ. Det betyr at V minker. Den dobbeltderiverte av V, eller den deriverte av den deriverte, er positiv. Det betyr at den negative verdien til V derivert blir mindre negativ, altså at lekkasjen blir mindre.

c)

Fra figuren i a ser man at vannmengden nærmer seg 500 liter når tiden blir høy, så y = 500 er en horisontal asymptote.

En praktisk tolkning kan være at lekkasjen ikke er helt i bunnen, men et lite stykke oppe på reservoarveggen, slik at de 500 literne aldri renner ut.

Oppgave 2

a)

Begge går mot samme grenseverdi når x går mot pluss eller minus uendelig. Påstanden er feil.

b)

Det er riktig. Funksjonen er ikke deriverbar for X = 0.

Grafen har et knekkpunkt for x = 0 og er ikke deriverbar i dette punktet.

c)

Påstanden er feil for aR

aR{1,0,1} så er x = y.

a= - 1 gir løsninger når både x og y er partall, eller når begge er oddetall

a=0a=1 er xy løsninger, såvel som x=y

Oppgave 3

a)

Modellen foreslår 1,6 tusen = 1600 fisk som startverdi, og en vekst på 63% per måned.

b)


Bæreevne: B = 111 370 fisk

Vekstparameter: r = 0,52


For å finne hva modellen bruker som startverdi løser v i

111,37N0N0=57,2

Det gir en startverdi på 1950 fisk.

c)

Den deriverte til g vokser i det uendelige, mens grafen til den logistiske modellen(h) har et vendepunkt etter 7- 8 måneder. Der deriverte blir mindre, veksten reduseres, for så å flate ut etter ca. 15 måneder.

d)

Den logistiske modellen er mest realistisk. Resursene er begrenset, i tette populasjoner kan sykdom opptre og enkelte individer blir også mat for andre i næringsnettet. Etter 12 mnd. er det ca. 100 000 individer.


Oppgave 4

Logaritmen til basisen for logaritmen er 1. Eksempelvis er lg10(10)=1 og ln(e)=1. Derfor er basis her 5.

(Hvilket tall gir deg 25 dersom du opphøyer det i andre? Fra figur i oppgaven)

Oppgave 5

a)

Dersom en hvilket som helst rett linje parallell med x aksen skjærer grafen i ett og bare ett punkt, er den en-entydig og kan ha en omvendt funksjon. Vi ser at h ikke oppfyller kravet. f og g har omvendte funksjoner, men ikke h.

b)

Den første funksjonen ser ut til å kunne være en andregradsfunksjon. Den skjærer y aksen i 3 og øker så med 1 når x=1 og med 4 når x=2. Det passer med funksjonen

f(x)=x2+3

y=x2+3

x2=y3

x=±y3


Oppgave 6

a)

Legger inn posisjonsvektorene i cas og deriverer.

Fugl 1 har en fart på 6,7 m/s og fugl 2 en fart på 6,4 m/s.

b)

Bruker posisjonsvektorene fra a) og får:

Avstanden var 37 meter.

c)

d)