1T 2024 høst LØSNING
Diskusjon av oppgaven på matteprat
DEL EN
Oppgave 1
$u = 30 ^\circ$
$2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = 2 \cdot \frac 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2u blir 60 grader og fra figuren ser vi at $\sin(2u) = \sin (60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ så formelen stemmer.
Oppgave 2
Vi ser at dette er en andregradsfunksjon med nullpunkter for x= -3 og x = 1. Vi har symmetri så funksjonen vil ha sin laveste verdi når x = -1.
$f(-1) = (-1-1)(-1+3) = -2 \cdot 2 = -4$
Bunnpunkt (-1, 4)
Oppgave 3
Vi utfører en polynom divisjon for å faktorisere uttrykket.
Vi observerer at f(1) = 0, da er f delelig med (x-1).
$( x^3+7x^2+4x-12):(x-1) = x^2 + 8x +12 $
$-(x^3 - x^2)$
$\quad \quad \quad 8x^2+ 4x- 12$
$\quad \quad -( 8x^2 - 8x) $
$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 12x - 12 $
$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad -(12x - 12) $
$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 $
Så faktoriserer vi andregradsuttrykket:
Bruker ABC formelen og finner at $ x_1 = -6 \vee x_2 = -2$
Da har vi at $x^3 + 7x^2 + 4x - 12 = (x-1)(x+2)(x+6)$
Så lager vi et fortegnsskjema for å finne ut for hvilke verdier f(x) er negativ, null og positiv:
Da har vi et fortegnsskjema som viser når f er positiv og negativ. Dette stemmer med grafen nedenfor.
Da gjennstår det bare å se på $f(x) < 0 :$
f skal være mindre enn null. Det er den i området fra minus uendelig til -6 og mellom -2 og 1.
$x \in <\leftarrow, -6> \cup <-2, 1>$
Oppgave 4
a)
Tangens er sinus delt på cosinus. Tangens til 50 grader er større enn en fordi $\frac{0,77}{0,64}$ er større enn 1.
b)
Vinkelen befinner seg i andre kvadrant der cosinus er negativ og sinus positiv. Da er tangens negativ, altså mindre enn null.
Oppgave 5
Arealet av det store kvadratet:
$(t + s)(t + s) = t^2 + 2ts + s^2$
Dette er en matematisk identitet, 1. kvadratsetning. Det andre leddet på høyre side, 2ts er arealet av de to rektangelene i fuguren, som begge har areal t ganger s.
DEL TO
Oppgave 1
a)
Abbonenter i 2010:
$P(0) = 3600 + 600 = 4200$, eller man kan lese av grafen på y aksen og få samme resultat.
b)
Mellom 2014 og 2024 mister avisen i gjennomsnitt 151 papir abonnenter per år.
c)
Dersom vi regner origo som 1. januar 2010 vi antall digitalabonnenter passere papirabonnentene på sommeren i 2021.
Oppgave 2
Vi har 12 likesidede trekanter. Vi bruker arealsetningen på en enkelt trekant og multipliserer med tolv, for å få arealet av hele stjernen: Alle sider i de små trekantene er 4 og alle vinkler er 60 grader.
$12A = 12 \cdot \frac12 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 48 \sqrt{3} $
Oppgave 3
For vertikal asymptote i 2, må nevner bli null for x=2.
Når x = - 3 må telleren bli null (nullpunkt). I tillegg må hele brøken gå mot 4 når x går mot uendelig.
Oppgave 4
a)
b)
100! er et stort tall. For at et tall skal slutte på null må det ha en faktor 10 i seg. For at det skal slutte på 00 - to nuller, ma det ha en faktor 10 i seg to ganger. Tallet 10 kan faktorisers til faktorene 5 og 2. Faktoren 2 finnes mange ganger i 100!, den er jo en faktor i alle partall. Hvor mange ganger finner man faktoren 5?
Dersom vi deler 100 på 5 får vi 20: 5, 10, 15,.............. 95, 100
Tall som 25, 50 75 og 100 bidrar med to femmerfaktorer.
Vi får da: $ \frac {100}{5^1} + \frac{100}{5^2} = 20 + 4 =24$
(Det minste tallet som bidrar med tre femmerfaktorer er 125, men det er jo ikke med.)
Oppgave 5
På linje 1 defineres f.
På linje 2 bruker man opplysningen om punktet (2,6)
På linje 3 bruker vi informasjon om koordinatene til toppunktet. Det andre kulepunktet i oppgaven inneholder dobbel informasjon: vi vet også at den deriverte er null når x = -2. Den informasjonen bruker vi i linje 4.
Informasjon om tangentens stigningstall i (3, f(3)) er brukt i linje 5.
Vi har nå fire likninger og fire ukjente og løser.
Oppgave 6
a)
Vi kan se på firkanten ABCD som to trekanter som ligger inntil hverandre, ACD og ABC. Vi kjenner alle sidene i trekantene og bruker Cosinussetningen for å finne en vinkel i hver trekant. Så bruker vi arealsetningen på hver av trekantene og legger sammen. For å bruke arealsetningen trenger vi to sider i trekanten og vinkelen mellom dem.
b)
Diagonalen BD deler firkanten opp i to nye trekanter hvor alle vinkler er kjent (Den tredje vinkelen i en trekant finner du ved å ta 180 minus de to du allerede kjenner.). Bruk sinussetningen til å finne en side, for eksempel BD (sparer arbeid, da denne er en side i begge trekantene). Du kan nå bruke arealsetningen og kommer forhåpentligvis til å få samme svar som i a.
Oppgave 7
a)
100 m gjerde:
$100 = 2y + 4x + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot x$
Finner lengden av rektangelet, y, uttrykt ved x:
$y= 50 -2x - \sqrt{x}$
Arealet av grønnsakhagen blir:
$A(x) = y \cdot x + x^2 = (50 -2x - \sqrt{x})x + x^2 $
Når katetet er 8 meter er arealet 245,76 kvadratmeter (linje 2).
b)
Fra figuren i a ser vi at dersom katetet har en lengde på 10 meter vil arealet være i nærheten av sin maksimale verdi (259 kvadratmeter).
c)
d)
Det største arealet av hagen får man når katetene er 10,37 m. Da er arealet ca. 260 kvadratmeter.