Integrasjon
Innledning til integrasjon
Her prøver vi å gi en enkel framstilling av hva integraler kan være og hva integralregning kan brukes til.
Moped nr. 1
En moped beveger seg med konstant fart 4 meter per sekund. Grafisk kan det se slik ut:
Den fiolette linjen representerer grafen til funksjonen
f(t) = 4.
Vi er interessert i å se på arealet under grafen. Hva forteller det oss?
- Mopeden kjører med konstant hastighet 4m/s i 7 sekunder.
I den perioden tilbakelegger den en strekning S på
Dersom vi teller antall ruter under grafen, eller regner ut arealet av rektangelet får vi også 28.
- Arealet under grafen til funksjonen som utrykker hastighet som funksjon av tiden gir oss altså tilbakelagt strekning i samme tidsrom.
Legg merke til følgende:
- Når vi skal tolke arealet under en graf er enheten for svaret alltid lik enheten på x- aksen multiplisert med enheten på y-aksen.
I eksemplet over gir det
Moped nr. 2
En annen moped kjører med hastigheten 6 meter per sekund og begynner så å bremse opp. Mopeden bremser med en jevn akselerasjon (negativ) fra 6m/s til 1 m/s. Funksjonen som beskriver situasjonen ser slik ut:
g(t) = 6 - t
Dette skjer i løpet av fem sekunder.
I dette eksemplet ser vi at arealet under grafen er 17,5 og at benevningen er m (meter), hvilket betyr at mopeden beveger seg 17,5 meter under oppbremsingen.
De to eksemplene over var med rette linjer, altså lineære funksjoner. Hva da når grafen krummer?
Når grafen krummer...
For å finne arealet under krumme kurver kan vi dele området opp i rektangler som vist under
Vi observerer følgende:
- Rektanglene under kurven i figur A1 og A2 vil gi et større areal enn det som faktisk er under kurven.
- Rektanglene under kurven i figur B1 og B2 vil gi et mindre areal enn det som faktisk er under kurven.
- Bredden av rektanglene og derved også antall rektangler, har betydning for nøyaktigheten i resultatet. Både modell A og B vil bevege seg mot arealet under kurven, når antall rektangler går mot uendelig, og bredden av rektanglene avtar. Arealet under kurven er summen av disse rektanglene. Bredden av et rektangel er gitt ved:
Der n er antall rektangler, b er øvre grense og a er nedre grense som begrenser arealet under kurven.
Summen
Det bestemte integralet til f er:
Der f(x) er integranden, altså funksjonen som skal integreres. a er nedre integrasjonsgrense, b er øvre integrasjonsgrense. I vårt eksempel over er nedre grense en og øvre grense to. n er antallet rektangler. Vi observerte at når n går mot uendelig, går
Dersom det finnes en deriverbar funksjon F(x) er
F'(x) = f(x)
Der C er en konstant. Vi sier at F(x) er en antiderivert av f(x).
Det bestemte integralet blir da:
Der a og b er integrasjonsgrensene.
Du lurer kanskje på hva som skjedde med C? Dersom vi ser på høyre side av likhetstegnet ser vi at
F(b) + C - (F(a) + C) = F(b) - F(a)
Altså forsvinner C.
Det eksakte svaret på oppgaven er altså:
Tilnærmingen med 50 rektangler (A2 og B2) var altså god.
3.1.5
La oss se på eksemplene i begynnelsen:
f(t) = 4 gir:
Som var det samme resultatet vi fikk ved å telle ruter.
g(t) = 6 -t gir:
Resultatet tilsvarer det vi fikk ved å telle ruter.
3.1.6. Er integral og areal det samme?
Så langt har vi sett på arealer avgrenset av x-aksen, a, b og en graf som ligger over x-aksen. Hva når grafen til funksjonen ligger under x-aksen?
La oss finne det bestemte integralet avgrenset av x = -2, x = -1, x-aksen og funksjonen
Geogebra gir oss et integral på - 0,69, Altså en negativ verdi. Regning for hånd gir:
Man ser at dette stemmer med grafen til ln (x), som er tegnet lilla i samme koordinatsystem.
Et eksempel til:
f(x) = sin x
Fra disse eksemplene ser vi at integralet og arealet IKKE er det samme, selv om vi kan tolke integralet geometrisk.
Noen ganger kan det være vanskelig eller umulig å finne et utrykk for den antideriverte. Da kan man ta utgangspunkt i Riemannsummen og løse problemet numerisk.
Eller man kan gjøre som en professor jeg kjente. Han brukte saks, tykt papir og en nøyaktig vekt. Ved å klippe ut arealet under grafen og sammenligne det med et kjent areal, ved veiing, kom han fram til tilnærminger gode nok for de fleste ingeniørformål.
3.2.1
I læren om integraler tas det i bruk noe mer avanserte konsepter enn man ellers finner i matematikken på videregående. Dette spesielt i forbindelse med definisjonene rundt integrasjon. Det er derfor viktig å beherske både funksjonslære, derivasjon og algebra før man gir seg i kast med integrasjonsdelen av R2-pensumet.
Integrasjon er en operasjon som tar en funksjon og gir en ny funksjon som beskriver arealet under den første funksjonen.
3.2.2
Det bestemte integralet
Med det bestemte integalet av en funksjon vil vi finne arealet under funksjonen avgrenset av
3.2.3
Bestemt integral som grenseverdi
Vi kan se for oss arealet under en graf som en sum av rektangler, der antallet rektangler angir nøyaktigheten av integralet.
Dersom vi vil integrere
Når vi lar
Ubestemt integrasjon
I analysen (engelsk: Calculus) finnes et fundamentalteorem som relaterer operasjonene integrasjon og derivasjon med hverandre. Dette gjør det mulig å finne integralet av funksjoner uten å regne ut kompliserte summer som ovenfor. Teoremet er delt inn i to deler, som ofte kalles analysens første og andre fundamentalteorem.
Analysens første fundamentalteorem sier at hvis en reell funksjon
der
Analysens andre fundamentalteorem sier at
Her skal vi vise geometrisk at
- Bevis: Den deriverte av den integrerte er funksjonen selv
- La
være en reell funksjon , for alle , og la funksjonen beskrive arealet mellom -aksen og ved at er lik arealet mellom -aksen og mellom og . Mellom og vil aralet altså være , se figur:
- I grenseverdien når
vil dette arealet bli tilnærmet et rektangel. Arealet av et rektangel er gitt ved
- og arealet at dette rektangelet ser vi ut ifra figuren blir
. Dermed kan vi konkludere at
- Men dette kjenner vi som definisjonen av den deriverte. Altså kan vi skrive at
- Vi har dermed bevist at derivasjon og integrasjon er inverse operasjoner av hverandre, det vil si at
Dette kan også vises analytisk ved å ta i bruk noe mer avansert funksjonslære.
Når vi antideriverer en funksjon, dvs at vi tar det ubestemte integralet av funksjonen, får vi altså funksjonen
Formler for integrasjon
Her er noen nyttige formler for integrasjonen av sentrale funksjoner. Med metodene i de neste seksjonene vil vi også kunne integrere funksjoner sammensatt av disse. Denne tabellen må læres utenat.
f(x) | F(x) | Eksempel | |
ln x + C | x er positiv | ||
cos x | sin x + C | ||
sin x | - cos x + C |
Bestemte integgraler
Integrasjonskonstanten
Ettersom den deriverte av en konstant funksjon er lik null, må vi legge til en vilkårlig konstant til den integrerte av en funksjon.
- Eksempel: Integrasjonskonstant
- Vi tar for oss integralet
- Vi vet at
, men siden , der er en konstant, må vi legge denne til. Svaret blir altså
Merk at integrasjonskonstanten blir kansellert når
3.1. Integrasjon ved variabelskifte
I derivasjon sier kjerneregelen at
Dermed følger det at
Når vi substituerer variabler i integranden, manipulerer vi også differensialene
- Relasjoner mellom differensialer
- En generell substitusjon er
- Vi vil finne relasjonen mellom differensialene
og slik at vi kan foreta et variabelskifte.
- Dersom vi deriverer begge funksjonene mhp. x, får vi, ifølge kjerneregelen,
- Vi ser dermed at relasjonen mellom differensialene er
- eller
Nå som vi kan manipulere differensialene, viser vi et eksempel der vi får bruk for dette:
- Eksempel 1: Variabelskifte
- Vi har integralet
- Vi observerer at
og at begge disse er med i integranden. En god substitusjon her er derfor . Vi finner relasjonen mellom differensialene slik at vi kan gjennomføre variabelskiftet fra til .
- Vi erstatter
med og med i integranden. Da får vi
- Vi substituerer tilbake fra
til for å få svaret. , så
- Eksempel 2: Variabelskifte
- Vi har integralet
- Vi vet at
og at , si vi setter :
- Vi setter inn i integralet og får
- Vi kan nå erstatte u med x igjen får å få svaret vårt:
- Eksempel 3: Variabelskifte
- Eksempel 4: Variabelskifte
Grenser ved variabelskifte
Når vi bruker variabelskifte og vi har et bestemt integral, vil grensene for integralet endres slik at integralet ennå gjelder for samme intervall. Dette vises best gjennom et eksempel:
- Eksempel: Endring av grenser ved variabelskifte
- La oss si at vi har integralet
- Vi ser at
og velger substitusjonen . Da får vi
- Grensene på integralet må vi endre slik at vi ennå integrerer over samme intervall. Vi gjør dette ved å sette inn grensene for x og løse med hensyn på u. Den nedre grensen blir
- Den øvre grensen blir
- Vi setter alt inn i integralet og får
3.1....Delvis integrasjon
Vi kjenner allerede produktregelen fra dervasjon:
Delvis integrasjon er produktregelen på integralform. Her skal vi utlede formelen for delvis integrasjon fra produktregelen:
- Utleding av delvis integrasjon fra produktregelen
- Vi starter med produktregelen
- og trekker fra
på hver side av likhetstegnet:
- Så integrerer vi:
- Delvis integrasjon kan også skrives slik:
- ved at
og .
Dersom integralet består av forskjellige typer funksjoner (for eksempel en polynomfunksjon multiplisert med en trigonometrisk funksjon) kan delvis integrasjon være et godt førstevalg. Man bør velge u til en funksjon som blir "enklere" etter derivasjonen. Av og til må man utføre delvis integrasjon to ganger før man kommer til et resultat.
- Eksempel 1: integralet av naturlig logaritme
- Vi vil integrere funskjonen
. Til det kan vi bruke et lite triks og delvis integrasjon.
- Vi skriver
og lar og . Da får vi
og . Integralet blir
- Resultatet er altså at
- Svaret kan kontrolleres ved derivasjon.
- Eksempel 2:
- Eksempel 3:
- Eksempel 4:
Delbrøkoppspalting
Dersom man har en brøkfunksjon med en nevner som har høyere grad enn en og kan faktoriseres kan delbrøkoppspalting være en metode som fører til et resultat. Man ønsker å skrive en brøk med høyere grad enn en i nevner som summen av brøker med førstegradsuttrykk i nevneren. Teknikken illustreres best med et eksempel.
Man må så bestemme A og B. Det gjøres ved å løse likningen:
2x+3 = (x + 2)A + (x - 2)B
Velger x slik at parentesen foran A blir null og får x=-2 som gir:
Velger så x slik at parentesen foran B blir null, x = 2:
<math> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{7}{4(x-2)}+ \frac
{1}{4(x+2)})dx = \frac 74 ln|x-2| + \frac14 ln|x+2| + C </math>
Generelt kan man si at:
<math> \int \frac{ax+b}{(x-x_1)(x-x_2)}dx = \int (\frac{A}{(x-x_1)}+ \frac {B}{(x-x_2)})dx
</math> Man finner A og B slik at
<math> \int \frac{6x^2-17x+6}{x^3-5x^2+6x}dx = \int \frac{6x^2-17x+6}{x(x-2)(x-3)}dx =\int (\frac{(x-2)(x-3)A}{x}+ \frac {x(x-3)B}{x-2}+ \frac {x(x-2)C}{x-3} dx
</math> Man må nå finne ut hva A, B og C er. Det gjør man på følgende måte<math> \int \frac{6x^2-17x+6}{x^3-5x^2+6x}dx = \int \frac{6x^2-17x+6}{x(x-2)(x-3)}dx =\int (\frac{1}{x}+ \frac {2}{x-2}+ \frac {3}{x-3} dx = ln|x| + 2ln|x-2| +3ln|x-3| + C
</math>
Dersom man får et intgral der teller er større enn nevner kan man prøve polynomdivisjon før integrasjon.
Polynomdivisjon før integrasjon
Dersom en polynomdivisjon ikke går opp får man en rest i form av en brøkfunksjon som er enklere enn den man startet med. Hvilke metode man bruker for å integrere denne resten er ofte delbrøkoppspalting eller variabelskifte.
Utvalgte integraler
Nedenfor følger en del sentrale ubestemte integraler som er aktuelle for VG 3 - R2. Legg gjerne til integraler du tenker bør være med. Det er ofte forskjellige metoder for løsning og det nyttig å se forskjellige løsningsvarianter av samme oppgave.
Vi vet at
Vi setter
- Vi setter inn i integralet og får
- Vi kan nå erstatte u med x igjen:
Bruker resultatet fra derivasjonen av tan(x):
Vi integrerer så på begge sider
- Vi vil integrere funksjonen
. Til det kan vi bruke et lite triks og delvis integrasjon.
- Vi skriver
og lar og . Da får vi
og v = x. Integralet blir
- Resultatet er altså at
Vi prøver delvis integrasjon. ( cos x)' = - sin x og (sin x)' = cos x).
<math> \int sin^2x dx = \int (sinx \cdot sinx) dx \ = sinx \cdot (-cosx) - \int cosx \cdot (-cosx)dx \
= - sinx cosx + \int (1-sin^2x) dx \ = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx</math>
Da har man:
Bruker delvis integrasjon. Setter
Repeterer så øvelsen med u = 2x og får:
Prøver integrasjon med variabelskifte, og setter
Setter
Substituerer tilbake til x og får:
Setter u = 2x.
Vi får da:
Prøver å sette
Kan nå bruke delvis integrasjon.
Her bruker vi polynomdivisjon først, og får:
Her kan det være naturlig å teste delbrøkoppspalting, men vi får problemer med å finne A og B. Nevneren kan skrives som
Et utvalg integraler
3.1.1
Formålet med denne siden er at de som har behovet skal få en viss forståelse for hva integrasjon og integraler er. Du må vite hva derivasjon er først. Dersom du ønsker en mer systematisk og matematisk behandling av emnet går du til integrasjon
3.1.2
En moped beveger seg med konstant fart 4 meter per sekund. Grafisk kan det se slik ut:
Den fiolette linjen representerer grafen til funksjonen
f(t) = 4.
Vi er interessert i å se på arealet under grafen. Hva forteller det oss?
- Mopeden kjører med konstant hastighet 4m/s i 7 sekunder.
I den perioden tilbakelegger den en strekning S på
Dersom vi teller antall ruter under grafen, eller regner ut arealet av rektangelet får vi også 28.
- Arealet under grafen til funksjonen som utrykker hastighet som funksjon av tiden gir oss altså tilbakelagt strekning i samme tidsrom.
Legg merke til følgende:
- Når vi skal tolke arealet under en graf er enheten for svaret alltid lik enheten på x- aksen multiplisert med enheten på y-aksen.
I eksemplet over gir det
3.1.3
En annen moped kjører med hastigheten 6 meter per sekund og begynner så å bremse opp. Mopeden bremser med en jevn akselerasjon (negativ) fra 6m/s til 1 m/s. Funksjonen som beskriver situasjonen ser slik ut:
g(t) = 6 - t
Dette skjer i løpet av fem sekunder.
I dette eksemplet ser vi at arealet under grafen er 17,5 og at benevningen er m (meter), hvilket betyr at mopeden beveger seg 17,5 meter under oppbremsingen.
De to eksemplene over var med rette linjer, altså lineære funksjoner. Hva da når grafen krummer?
3.1.4
For å finne arealet under krumme kurver kan vi dele området opp i rektangler som vist under
Vi observerer følgende:
- Rektanglene under kurven i figur A1 og A2 vil gi et større areal enn det som faktisk er under kurven.
- Rektanglene under kurven i figur B1 og B2 vil gi et mindre areal enn det som faktisk er under kurven.
- Bredden av rektanglene og derved også antall rektangler, har betydning for nøyaktigheten i resultatet. Både modell A og B vil bevege seg mot arealet under kurven, når antall rektangler går mot uendelig, og bredden av rektanglene avtar. Arealet under kurven er summen av disse rektanglene. Bredden av et rektangel er gitt ved:
Der n er antall rektangler, b er øvre grense og a er nedre grense som begrenser arealet under kurven.
Summen
Det bestemte integralet til f er:
Der f(x) er integranden, a er nedre integrasjonsgrense, b er øvre integrasjonsgrense.
Dersom det finnes en deriverbar funksjon F(x) er
F'(x) = f(x)
Der C er en konstant. Vi sier at F(x) er en antiderivert av f(x).
Det bestemte integralet blir da:
Der a og b er integrasjonsgrensene.
Du lurer kanskje på hva som skjedde med C? Dersom vi ser på høyre side av likhetstegnet ser vi at
F(b) + C - (F(a) + C) = F(b) - F(a)
Altså forsvinner C.
Det eksakte svaret på oppgaven er altså:
Tilnærmingen med 50 rektangler (A2 og B2) var altså god.
3.1.5
La oss se på eksemplene i begynnelsen:
f(t) = 4 gir:
Som var det samme resultatet vi fikk ved å telle ruter.
g(t) = 6 -t gir:
Resultatet tilsvarer det vi fikk ved å telle ruter.
3.1.6. Er integral og areal det samme?
Så langt har vi sett på arealer avgrenset av x-aksen, a, b og en graf som ligger over x-aksen. Hva når grafen til funksjonen ligger under x-aksen?
La oss finne det bestemte integralet avgrenset av x = -2, x = -1, x-aksen og funksjonen
Geogebra gir oss et integral på - 0,69, Altså en negativ verdi. Regning for hånd gir:
Man ser at dette stemmer med grafen til ln (x), som er tegnet lilla i samme koordinatsystem.
Et eksempel til:
f(x) = sin x
Fra disse eksemplene ser vi at integralet og arealet IKKE er det samme, selv om vi kan tolke integralet geometrisk.
Noen ganger kan det være vanskelig eller umulig å finne et utrykk for den antideriverte. Da kan man ta utgangspunkt i Riemannsummen og løse problemet numerisk.
Eller man kan gjøre som en professor jeg kjente. Han brukte saks, tykt papir og en nøyaktig vekt. Ved å klippe ut arealet under grafen og sammenligne det med et kjent areal, ved veiing, kom han fram til tilnærminger gode nok for de fleste ingeniørformål.