S1 2024 Vår LØSNING
Diskusjon av oppgaven på matteprat
DEL 1
Oppgave 1
$f(x)=4x^2\cdot ln(3x)$
$f'(x)=8x\cdot ln(3x) + 4x^2 \cdot \frac{1}{3x}\cdot 3$
$f'(x)=8x\cdot ln(3x) + 4x$
Oppgave 2
$(ln\,x)^2-lnx=6$
Setter $u=ln\,x$
$u^2-u-6=0$
$(u+2)(u-3)=0$
$u=-2 \vee u=3$
$ln\,x=-2 \vee ln\,x=3$
$x=e^{-2}\vee x=e^3$
$x=\frac{1}{e^2}\vee x=e^3$
Oppgave 3
\[f(x)=e^{-x+1},\,D_f=\mathbb{R}\]
\[ \lim_{x\to \infty} e^{-x+1}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty}}=0\]
\[ \lim_{x\to -\infty} e^{-x+1}=e^{\infty}=\infty\]
Oppgave 4
a)
P(2 gule sokker) = $P(G)\cdot P(G|G)=\frac{6}{15}\cdot\frac{5}{14}=\frac{30}{15\cdot 14}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$
b)
Det er 3*2*1 = 6 måter å trekke 3 sokker med ulik farge: GSH, GHS, HSG, HGS, SGH, SHG. Det er samme sannsynlighet for hver av disse.
P(3 ulike farger) = $6\cdot \frac{6\cdot 5\cdot 4}{15\cdot 14\cdot 13} = 6\cdot \frac{2\cdot 4}{14\cdot 13}=\frac{24}{7\cdot 13}=\frac{24}{91} $
P(minst 2 sokker av samme farge) = 1 - P(3 ulike farger) = $1-\frac{24}{91}=\frac{67}{91}$
Oppgave 5
Vi endrer funksjons definisjonsområde til at 2 ikke er med i definisjonsmengden. :
\[ f(x) = \begin{cases} \quad \quad x,\quad 0\leq x <2 \\ \, 5-x,\quad 2<x\leq 5 \\ \end{cases} \]
Vi har ivaretatt alle kravene:
$\bullet$ Verdimengden er uendret.
$\bullet$ Definisjonsmengden er så stor som mulig (uten å endre verdimengden)
$\bullet$ f er kontinuerlig. Vi sier at f er kontinuerlig hvis f er kontinuerlig for alle $a\in D_f$. Siden funksjonen f ikke er definert i punktet 2, så er f kontinuerlig i alle punkter i definisjonsmengden.
For nærmere forklaring, se s.129-131 i Aschehougs bok "Matematikk S1".
DEL 2
Oppgave 1
a)
Overskuddsfunksjonen er gitt ved O(x)=I(x)-K(x).
Tegner overskuddsfunksjonen O(x) i Geogebra, og bruker Ekstremalpunkt. Den produksjonsmengden som gir størst overskudd er ca. 41 biler, se punkt A.
b)
Funksjonen for enhetskostnad er gitt ved E(x)=K(x)/x
Tegner funksjonen E(x). Produksjonsmengden som gir lavest mulig enhetskostnad er ca. 8 biler, se punkt B i skjermutklippet i oppgave a).
c)
De avtalte omtrent 784 234 kr per bil i denne kontrakten.
Oppgave 2
a)
$e^{k\cdot ln(x)}=e^{ln(x)\cdot k}=(e^{ln(x)})^k=x^k$
$ln(x)$ er ikke definert for $x\leq 0$. Påstanden er sann for $x>0$.
b)
Bruker CAS i Geogebra til å teste påstanden for eksempel for $a=\frac{b}{2,1}$. Da viser CAS at påstanden bare stemmer for b>21, og ikke generelt. Påstanden er altså feil.
Oppgave 3
a)
Jeg antar at vi bruker det norske alfabetet, som har 29 bokstaver.
Hvis vi regner små og store bokstaver som forskjellige tegn, er det $29\cdot 2=58$ ulike tegn å velge mellom.
Antall mulige kombinasjoner hvis vi ikke tar hensyn til at det må være minst én stor og én liten bokstav: $58^6$
Vi må trekke fra alle kombinasjoner som kun har små bokstaver, og de som kun har store bokstaver.
Antall mulige kombinasjoner som følger alle reglene:
$58^6-2\cdot 29^6=36\,879\,045\,902$
b)
Jeg antar at man kan velge mellom alle siffer fra 0 til 9, altså 10 forskjellige siffer å velge mellom.
Antall måter de 6 tegnene kan stå på:
$6!=720$
Men så har vi to små bokstaver, to store bokstaver og to siffer. To og to tegn er altså like.
Antall måter de 6 tegnene kan stå på, med hensyn til at to og to tegn er like:
$\frac{720}{2\cdot 2\cdot 2}=90$
Antall mulige kombinasjoner som følger alle reglene:
$90\cdot 29^4\cdot 10^2= 6\,365\,529\,000$
Det er altså færre kombinasjoner å velge mellom ved å følge regelsett 2, enn ved å følge regelsett 1. Sikkerheten er derfor muligens dårligere med regelsett 2.
Oppgave 4
Prøver meg frem med hypergeometrisk fordeling i Geogebras sannsynlighets kalkulator, og finner ut at det minste antallet er 5 hvite kuler og 3 røde (8 kuler totalt).
Oppgave 5
a)
$\frac{6}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac{5}{54}\approx 0,093$
Det er omtrent 9,3 % sjanse for at alle terningene viser forskjellige antall øyne.
b)
Jeg lager et program i Python for å bestemme sannsynligheten for å få nøyaktig tre seksere på et kast med fem terninger. Jeg bruker 100 000 forøk for å få et mest mulig nøyaktig svar, uten at programmet tar for lang tid å kjøre. Jeg får en sannsynlighet på ca. 31-33 %.
