S1 2024 Vår LØSNING
Diskusjon av oppgaven på matteprat
DEL 1
Oppgave 1
$f(x)=4x^2\cdot ln(3x)$
$f'(x)=8x\cdot ln(3x) + 4x^2 \cdot \frac{1}{3x}\cdot 3$
$f'(x)=8x\cdot ln(3x) + 4x$
Oppgave 2
$(ln\,x)^2-lnx=6$
Setter $u=ln\,x$
$u^2-u-6=0$
$(u+2)(u-3)=0$
$u=-2 \vee u=3$
$ln\,x=-2 \vee ln\,x=3$
$x=e^{-2}\vee x=e^3$
$x=\frac{1}{e^2}\vee x=e^3$
Oppgave 3
\[f(x)=e^{-x+1},\,D_f=\mathbb{R}\]
\[ \lim_{x\to \infty} e^{-x+1}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty}}=0\]
\[ \lim_{x\to -\infty} e^{-x+1}=e^{\infty}=\infty\]
Oppgave 4
a)
P(2 gule sokker) = $P(G)\cdot P(G|G)=\frac{6}{15}\cdot\frac{5}{14}=\frac{30}{15\cdot 14}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$
b)
Det er 3*2*1 = 6 måter å trekke 3 sokker med ulik farge: GSH, GHS, HSG, HGS, SGH, SHG. Det er samme sannsynlighet for hver av disse.
P(3 ulike farger) = $6\cdot \frac{6\cdot 5\cdot 4}{15\cdot 14\cdot 13} = 6\cdot \frac{2\cdot 4}{14\cdot 13}=\frac{24}{7\cdot 13}=\frac{24}{91} $
P(minst 2 sokker av samme farge) = 1 - P(3 ulike farger) = $1-\frac{24}{91}=\frac{67}{91}$
Oppgave 5
Vi endrer funksjons definisjonsområde til at 2 ikke er med i definisjonsmengden. :
\[ f(x) = \begin{cases} \quad \quad x,\quad 0\leq x <2 \\ \, 5-x,\quad 2<x\leq 5 \\ \end{cases} \]
Vi har ivaretatt alle kravene:
$\bullet$ Verdimengden er uendret.
$\bullet$ Definisjonsmengden er så stor som mulig (uten å endre verdimengden)
$\bullet$ f er kontinuerlig. Vi sier at f er kontinuerlig hvis f er kontinuerlig for alle $a\in D_f$. Siden funksjonen f ikke er definert i punktet 2, så er f kontinuerlig i alle punkter i definisjonsmengden.
For nærmere forklaring, se s.129-131 i Aschehougs bok "Matematikk S1".
DEL 2
Oppgave 1
a)
Tegner overskuddsfunksjonen O(x) i Geogebra, og bruker Ekstremalpunkt. Den produksjonsmengden som gir størst overskudd er ca. 41 biler, se punkt A.
b)
Tegner funksjonen E(x) for enhetskostnad. Produksjonsmengden som gir lavest mulig enhetskostnad er ca. 8 biler, se punkt B.
c)
De avtalte omtrent 784 234 kr per bil i denne kontrakten.