DEL 1

Oppgave 1

a)

$f(x)=2cos(\pi x)$

$f'(x)=-2 \pi sin(\pi x)$

b)

$g(x)=cos^2 x \cdot sin\, x$

$g'(x)=(cos^2 x)' \cdot sin\, x + cos^2 x \cdot (sin\, x)' \\ = 2cos\, x \cdot (-sin\, x) \cdot sin\, x + cos^2 x \cdot cos\, x \\ = -2sin^2 x \cdot cos x + cos^3 x$

Oppgave 2

a)

$\int_{-1}^{1} (2x^3+3x-1) dx \\ = [ \frac{2}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2-x]_{-1}^{1} \\ =(\frac{1}{2}\cdot 1^4+\frac{3}{2}\cdot 1^2-1)-(\frac{1}{2}\cdot (-1)^4+\frac{3}{2}\cdot (-1)^2-(-1)) \\ =(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-1)-(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+1) \\ = -1-1 = -2$

b)

$u=2x^2-1$

$\frac{du}{dx}=4x \Rightarrow dx=\frac{du}{4x}$

$\int \frac{8x}{\sqrt{2x^2-1}} dx = \int \frac{8x}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{4x} = \int \frac{2}{\sqrt{u}} du = 2 \int u^{-\frac{1}{2}} du \\ = \frac{2}{\frac{1}{2}}\cdot u^{\frac{1}{2}} + C = 4 \cdot \sqrt{u} + C = 4\sqrt{2x^2-1}+C$

c)

$\int \frac{2}{(x+3)(x+1)}dx = \int \frac{A}{(x+3)}+\frac{B}{(x+1)} dx $

Vi bestemmer A og B ved å løse likningen:

$2 = (x+1)A + (x+3)B \\ 2=Ax+A+Bx+3B \\ 2=(A+B)x + A+ 3B$

Telleren har ikke noe x-ledd, så vi har:

I $A+B=0$

II$A+3B=2$

Setter inn $A=-B$ i likning II:

$-B+3B=2 \Rightarrow B=1$

Fra likning I har vi da $A=-1$

Integralet blir da:

$\int \frac{2}{(x+3)(x+1)}dx = \int \frac{A}{(x+3)}+\frac{B}{(x+1)} dx = \int \frac{-1}{(x+3)}+\frac{1}{(x+1)} dx \\ = - \ln|{x+3}| + \ln|{x+1}| + C = \ln|{\frac{x+1}{x+3}}| + C$

Oppgave 3

a)

Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved

$S_n=\frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}$

Vi må finne antall ledd i rekken $7+11+....+479+483$.

Ser at $d=4$, så antall ledd (n) blir:

$n=\frac{483-7}{4}+1=\frac{476}{4}+1=119+1=120$

Summen av denne rekken blir:

$S_{120}=\frac{120\cdot (7+483)}{2}= 60\cdot(7+483)=420+28980 =29400$

b)

For en geometrisk rekke har vi

$a_n=a_1\cdot k^{n-1}$

Vi vet at $a_2=6$ og får likning I:

$a_2=a_1\cdot k^{2-1} \\ 6=a_1\cdot k \\ a_1=\frac{6}{k}$

Summen av en geometrisk rekke som konvergerer er gitt ved

$S=\frac{a_1}{(1-k)}$

Vi vet at summen av rekken er 24 og har dermed likning II:

$24=\frac{a_1}{(1-k)} \\ a_1=24(1-k)$

Setter inn $a_1=\frac{6}{k}$ i likning II:

$\frac{6}{k} = 24(1-k) \\ 6=24k(1-k) \\ 6=24k-24k^2 \\ 24k^2-24k+6=0 \\ k^2-k+\frac{1}{4}=0 \\ (k-\frac{1}{2})(k-\frac{1}{2})=0 \\ k=\frac{1}{2} $

Setter inn $k=\frac{1}{2} $ i likning I:

$a_1=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$

Oppgave 4

a)

$2sin(2x)=1$, der $x\in[0,\pi]$

$sin(2x)=\frac{1}{2}$

$ 2x=\frac{\pi}{6} + k \cdot 2 \pi \vee 2x = (\pi - \frac{\pi}{6}) + k\cdot 2\pi \quad \quad k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{12} \vee x = \frac{5\pi}{12} \quad $ kun disse to løsningene gir $x\in[0,\pi]$

$ L = \{ \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} \}$

b)

$2cos^2 x-cos x=1$, der $x\in[0,4\pi]$

$u=cos\,x$

$2u^2-u-1=0 \\ u^2-\frac{1}{2} u - \frac{1}{2}=0 \\ (u+\frac{1}{2})(u-1)=0 \\ u=-\frac{1}{2} \vee u=1 \\ cos\,x=-\frac{1}{2} \vee cos\, x=1$

$cos\,x=-\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{2\pi}{3} + k\cdot 2\pi \Rightarrow L=\{ \frac{2\pi }{3}, \frac{8\pi}{3} \} $ for $x\in[0,4\pi]$

og $cos\,x=-\frac{1}{2} \Rightarrow x= \frac{4\pi}{3} + k\cdot 2\pi \Rightarrow L=\{ \frac{4\pi}{3}, \frac{10\pi}{3} \}$ for $x\in[0,4\pi]$

$cos\,x=1 \Rightarrow x=0 + k\cdot 2\pi \Rightarrow L=\{0,2\pi,4\pi \}$ for $x\in[0,4\pi]$

$L=\{ 0,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},2\pi,\frac{8\pi}{3},\frac{10\pi}{3},4\pi \}$

Oppgave 5

B er grafen til f.

Dette fordi $sin^2(x)=0$ for $x=0, x=\pi$ og $x=2\pi$ i intervallet $x\in[0,2\pi]$. Dette er de samme nullpunktene som for $sin(x)$.

I tillegg er $sin^2(x)=1$ for $x=\frac{\pi}{2}$ og $x=\frac{3\pi}{2}$ i intervallet $x\in[0,2\pi]$

Oppgave 6

a)

$f(x)=x+a, \quad 0\leq x \leq 2, \quad a>0$

$\int_{0}^{2} f(x) dx = 3$

$ [ \frac{1}{2} x^2 + ax]_{0}^{2} = 3$

$(\frac{1}{2}\cdot 2^2+a\cdot 2)-(\frac{1}{2}\cdot 0^2+a\cdot 0) = 3$

$\frac{4}{2}+2a-0 = 3$

$2a = 3-2$

$a=\frac{1}{2}$

b)

$V=\int_{0}^{2} \pi (f(x))^2 dx$

$= \pi \int_{0}^{2} (x+a)^2 dx$

$=\pi \int_{0}^{2} (x^2 + 2ax + a^2) dx$

$= \pi [\frac{1}{3}x^3 + \frac{2a}{2} x^2 + a^2x]_{0}^{2}$

$=\pi [(\frac{1}{3}\cdot(2)^3+a\cdot(2)^2 +a^2\cdot 2)-(\frac{1}{3}\cdot(0)^3+a\cdot(0)^2 +a^2\cdot 0)]$

$=\pi(\frac{8}{3}+4a+2a^2)$

Setter inn uttrykket for V i likningen:

$V=\frac{98}{3}\pi$

$\pi(\frac{8}{3}+4a+2a^2) = \frac{98}{3}\pi \quad | : \pi$

$\frac{8}{3}+\frac{3\cdot4a}{3}+\frac{3\cdot 2a^2}{3}=\frac{98}{3}$

$\frac{8}{3}+\frac{12a}{3}+\frac{6a^2}{3}=\frac{98}{3} \quad |\cdot 3$

$6a^2+12a+8-98=0$

$6a^2+12a-90=0 \quad |:6$

$a^2+2a-15=0$

$(a+5)(a-3)=0$

$a=-5 \vee a=3$

Forkaster $a=-5$ siden vi må ha $a>0$. Vi har da $a=3$.

Oppgave 7

a)

I xz-planet er $y=0$. Setter inn $y=0$ i uttrykket for $y$:

$y=2-t \\ 0=2-t \\ t=2$

Setter inn $t=2$ i uttrykket for $x$:

$x=1+2t \\ x=1+2\cdot 2 \\ x=5$

Setter inn $t=2$ i uttrykket for $z$:

$z= 6+t \\ z=6+2 \\ z=8$

Skjæringspunktet mellom linjen $\ell$ og xz-planet er (5,0,8).

b)

Linjen $\ell$ står vinkelrett på planet $\alpha$, og retningsvektoren til linjen $\ell$ er derfor lik normalvektoren $\vec{n_\alpha}$ til planet $\alpha$. Dermed er skalarproduktet av $\vec{n_\alpha}$ og en vektor i planet, lik 0.

Likningen for planet er derfor gitt ved:

$[a,b,c] \cdot [x-x_0, y-y_0, z-z_0]=0$

$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$

Der a,b og c er koordinatene til planets normalvektor, og $x_0,y_0,z_0$ er et punkt i planet. Vi har $\vec{n_\alpha}=[2,-1,1]$ og punktet $P(2,-2,6)$.

$2(x-2)-1\cdot(y-(-2))+1\cdot(z-6)=0 \\ 2x-4-(y+2)+z-6=0 \\ 2x-y+z-4-2-6=0 \\ 2x-y+z-12=0$

Likningen for planet $\alpha$ er $2x-y+z-12=0$.

c)

Setter inn uttrykkene for x,y og z fra parameterfremstillingen til linjen $\ell$, i likningen for planet $\alpha$:

$2x-y+z-12=0 \\ 2\cdot ( 1+2t ) - (2-t ) + (6+t) - 12 = 0 \\ 2+4t-2+t+6+t-12=0 \\ 6t-6 = 0 \\ t=1$

Setter inn $t=1$ i uttrykkene for x,y og z fra parameterfremstillingen til linjen $\ell$:

$x= 1+2t = 1+2\cdot 1=3$

$y = 2-t = 2-1=1$

$z= 6+t=6+1=7$

Skjæringspunktet mellom $\alpha$ og $\ell$ er (3,1,7).

Oppgave 8

Vi har gitt differensiallikningen:

$y' -2y=x, \quad y(0)=1$

a)

Integrerende faktor er $e^{-2x}$

$y' -2y=x$

$e^{-2x} y' - 2 e^{-2x} y = x e^{-2x} $

$(e^{-2x}y)'= x e^{-2x}$

$y e^{-2x} = \int x e^{-2x} dx$

Bruker delvis integrasjon, der $u=x$, $u'=1$, $v'= e^{-2x}$, $v=-\frac{1}{2}e^{-2x}$

$y e^{-2x} = x\cdot (-\frac{1}{2}e^{-2x})-\int (-\frac{1}{2}e^{-2x})dx$

$y e^{-2x} = -\frac{1}{2} x e^{-2x}- (-\frac{1}{2})\cdot(-\frac{1}{2})\cdot e^{-2x}+C$

$y (x) = -\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} + C e^{2x}$

Vi har $y(0)=1$

$-\frac{1}{2} \cdot 0-\frac{1}{4} + C e^{2\cdot 0} = 1$

$0-\frac{1}{4}+C \cdot 1 = 1$

$C=1+\frac{1}{4}$

$C=\frac{5}{4}$

Setter inn verdien for C i likningen for y:

$y(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}+\frac{5}{4} e^{2x}$

R2 2019 høst LØSNING

Innhold