R2 2019 høst LØSNING
Diskusjon av denne eksamensoppgaven
Løsningsforslag til del 1 laget av Emilga
Løsningsforslag til del 2 laget av Kristian Saug
Løsningsforslag laget av Ole Henrik Morgenstierne
DEL 1
Oppgave 1
a)
$f(x)=2cos(\pi x)$
$f'(x)=-2 \pi sin(\pi x)$
b)
$g(x)=cos^2 x \cdot sin\, x$
$g'(x)=(cos^2 x)' \cdot sin\, x + cos^2 x \cdot (sin\, x)' \\ = 2cos\, x \cdot (-sin\, x) \cdot sin\, x + cos^2 x \cdot cos\, x \\ = -2sin^2 x \cdot cos x + cos^3 x$
Oppgave 2
a)
$\int_{-1}^{1} (2x^3+3x-1) dx \\ = [ \frac{2}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2-x]_{-1}^{1} \\ =(\frac{1}{2}\cdot 1^4+\frac{3}{2}\cdot 1^2-1)-(\frac{1}{2}\cdot (-1)^4+\frac{3}{2}\cdot (-1)^2-(-1)) \\ =(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-1)-(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+1) \\ = -1-1 = -2$
b)
$u=2x^2-1$
$\frac{du}{dx}=4x \Rightarrow dx=\frac{du}{4x}$
$\int \frac{8x}{\sqrt{2x^2-1}} dx = \int \frac{8x}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{4x} = \int \frac{2}{\sqrt{u}} du = 2 \int u^{-\frac{1}{2}} du \\ = \frac{2}{\frac{1}{2}}\cdot u^{\frac{1}{2}} + C = 4 \cdot \sqrt{u} + C = 4\sqrt{2x^2-1}+C$
c)
$\int \frac{2}{(x+3)(x+1)}dx = \int \frac{A}{(x+3)}+\frac{B}{(x+1)} dx $
Vi bestemmer A og B ved å løse likningen:
$2 = (x+1)A + (x+3)B \\ 2=Ax+A+Bx+3B \\ 2=(A+B)x + A+ 3B$
Telleren har ikke noe x-ledd, så vi har:
I $A+B=0$
II$A+3B=2$
Setter inn $A=-B$ i likning II:
$-B+3B=2 \Rightarrow B=1$
Fra likning I har vi da $A=-1$
Integralet blir da:
$\int \frac{2}{(x+3)(x+1)}dx = \int \frac{A}{(x+3)}+\frac{B}{(x+1)} dx = \int \frac{-1}{(x+3)}+\frac{1}{(x+1)} dx \\ = - \ln|{x+3}| + \ln|{x+1}| + C = \ln|{\frac{x+1}{x+3}}| + C$
Oppgave 3
a)
Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved
$S_n=\frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}$
Vi må finne antall ledd i rekken $7+11+....+479+483$.
Ser at $d=4$, så antall ledd (n) blir:
$n=\frac{483-7}{4}+1=\frac{476}{4}+1=119+1=120$
Summen av denne rekken blir:
$S_120=\frac{120\cdot (7+483}{2}= 60\cdot(7+483)=420+28980 =29400$