S2 2019 høst LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

oppgaven som pdf

diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag til del 2 laget av mattepratbruker Krisian Saug

Løsningsforslag del 1 og del 2 laget av Svein Arneson

DEL 1

Oppgave 1

a)

f(x)=12lnx

f(x)=12x

b)

g(x)=3xe2x

g(x)=3e2x+3x2e2xg(x)=3e2x(2x+1)

c)

h(x)=x2+1x3

h(x)=2x(x3)(x2+1)1(x3)2h(x)=2x26xx21x26x+9h(x)=x26x1x26x+9

Oppgave 2

a)

an=a1+(n1)da4=a1+(41)d7=8+3d3d=15d=5

an=8+(n1)5an=8+5n5an=5n13

b)

a40=54013=20013=187

Sn=a1+an2nS40=8+187240S40=17920S40=3580

Oppgave 3

a)

an=a1kn1

For denne rekka har vi:

an=6(12)n1

Dersom 1<k<1 i en geometrisk tallfølge an=a1kn1 sier vi at den konvergerer. I dette tilfelle er k=12, så rekken konvergerer.

I slike tilfeller er summen S=a11k.

S=61(12)=632=623=4

b)

0,135135135...=0,135+1,000135+0,000000135+=1351000+13510002+13510003+...

Dette kan uttrykkes som en geometrisk rekke:

an=1351000(11000)n1

Vi har 1<k<1, så denne rekken konvergerer. Summen av den geometriske rekken, altså tallet 0,135135135... blir da:

S=a11k=1351000111000=13510009991000=135999=45333=15111=537

Det kan være vanskelig å vite at teller og nevner i 135999 er delelig på 27, så jeg deler teller og nevner på 3, i tre omganger.

0,135135135...=537

Oppgave 4

I. ax2y+z=4

II. 2x+z=6

III. 3x+3y+z=7

Setter inn x=2 i likning II.

II. 2(2)+z=6z=6+4z=10

Setter inn x=2 og z=10 i likning III.

III. 3(2)+3y+10=73y=710+6y=33y=1

Setter inn x=2, y=1 og z=10 i likning I.

I. a(2)21+10=42a=410+2a=42a=2

Oppgave 5

f(x)=x3+3x24

a)

f(x)=x3+3x24=(x2+4x+4)(x1)=(x+2)2(x1)

b)

f(x)=3x2+6x=3x(x+2)

Finner x-verdiene i ekstremalpunktene:

f(x)=03x(x+2)=0x=2x=0

Finner y-verdiene i ekstremalpunktene:

f(2)=(2)3+3(2)24=8+124=0

f(0)=03+3024=4

Funksjonen f har et toppunkt i (2,0) og et bunnpunkt i (0,4)

c)

f(x)=6x+6

Finner x-verdien i vendepunktet:

f(x)=06x+6=0x=1

Finner y-verdien i vendepunktet:

f(1)=(1)3+3(1)24=1+34=2

Finner den deriverte i vendepunktet:

a=f(1)=3(1)2+6(1)=36=3

Finner vendetangenten:

(yy1)=a(xx1)y(2)=3(x(1))y+2=3x3y=3x5

d)

Husk at dette må gjøres for hånd på eksamen.

Har ekstremalpunktene A=(-2,0) og B=(0,-4), samt vendepunktet C=(-1, -2) fra før.

Finner f(-3) og f(1) i tillegg.

f(3)=(3)3+3(3)24=27+274=4

f(1)=13+3124=1+34=0

Vi har nå også punktene E=(1,0) og F=(-3,-4). Det holder for en skisse.

e)

Fra før av har vi nullpunktene til funksjonen f, A=(-2,0) og E=(1,0). Setter u=lnx.

(lnx)3+3(lnx)24=0u3+3u24=0u=2u=1

lnx=2lnx=1x=e2x=e