S1 2019 vår LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas


DEL EN

Oppgave 1

a)

3x5=813x5=34x5=4x=9

b)

x27x+10=0

Faktoriserer

x27x+10=(x2)(x5)

Finner nullpunktene:

(x2)(x5)=0x=2x=5

Kan også bruke abc - formelen for faktorisering.

c)

lg(x+3)lgx=1x>0lg(x+3x)=110lg(x+3x)=101x+3x=10x+3=10x9x=3x=13

Oppgave 2

a)

16227372212=(24)2(33)3(2332)2223=28392634223=28392835=288395=2034=34=81

b)

x2x1xx+12xx21=(x2)(x+1)(x1)(x+1)x(x1)(x+1)(x1)2x(x+1)(x1)=(x2+x2x2)(x2x)2x(x1)(x+1)=x2+x2x2x2+x2x(x1)(x+1)=2x2(x1)(x+1)=2(x+1)(x1)(x+1)=2x1

c)

lg(2x2)+lg(2x2)+lg(x)lg(4x)=(lg(2)lg(x2))+(lg(2)+lg(x2))+lg(x)(lg(4)+lg(x))=lg(2)2lg(x)+lg(2)+2lg(x)+lg(x)lg(22)lg(x)=2lg(2)+lg(x)2lg(2)lg(x)=0

Oppgave 3

[x2+2y=13x3xy=5]

Løser andre likning og setter inn i den første.

y=3x+5

Vi setter inn for y i den første likningen:

x2+2(3x+5)=13xx2+6x+10=13xx27x+10=0

Fra oppgave 1b) har vi at x1=2 og x2=5

Fra andre likning har vi:

y1=32+5=11

y2=35+5=20

Løsning: x1=2, y1=11 og x2=5, y2=20

Oppgave 4

a)

Pris brus = x og pris pølse = y.

[6x+4y=1705x+10y=275]

b)

Løser likning II med hensyn på x:

5x=27510yx=552y

setter så uttrykket for x inn i likning I:

6(552y)+4y=17033012y+4y=1708y=160y=20

Setter inn y=20 i likning II:

x=55220=5540=15

En brus koster 15 kroner og en pølse koster 20 kroner.

Oppgave 5

a)

f(x)=x3+3xf(x)=3x2+3f(1)=31+3=6

Når x =1 har funksjonen en momentan vekstfart på 6.

b)

Den deriverte er positiv for alle verdier av x, derfor er funksjonen voksende og har kun positive tangenter.

c)

f(x)=153x2+3=153x2=12x2=4x=±2

Oppgave 6

a)

(103)=1098321=1034=120

120 ulike grupper på tre deltakere kan komme til finalen.

b)

Vi har flere kvinner enn menn i en gruppe på tre, dersom vi har to eller tre kvinner.

P(to eller tre kvinner) = (52)(51)(103)+(53)(50)(103)=105120+101120=60120=12

60 av de 120 gruppene, det vil si halvparten, inneholder flere kvinner enn menn.

Oppgave 7

a)

Ulikhetene som begrenser området:

x0

y0

y0,5x+2

y2x+6

b)

Finner skjæringspunktene for de to linjene:

0,5x+2=2x+62,5x=4x=42,5=1610=1,6

y=0,51,6+2=0,8+2=2,8

Sjekker hjørnene i område for den største verdien av 3x+y

(1.6,2.8)31.6+2.8=4.8+2.8=7.6

(0,2)30+2=2

(3,0)33+0=9

Den største verdien størrelsen 3x+y kan ha innenfor det blå området er 9..

c)

(0,2) satt inn i størrelsen yax gir verdien 2a0=2

Verdien av a må være slik at de andre to hjørnene ikke får en verdi større enn 2.

For hjørnet (3,0) får vi verdien 0a3=3a. Vi har 3a<2 for alle a>23

For hjørnet (1.6,2.8) får vi verdien 2.8a1.6.

2.8a1.6<21.6a<0.8a>0,5

Vi må ha a>0,5 for at størrelsen yax skal ha størst verdi i (0,2).

Oppgave 8

a)

Omkrets: O=4y+8x=124y=128xy=32x

Areal: A=y2+2x2A(x)=(32x)2+2x2A(x)=912x+4x2+2x2A(x)=6x212x+9

b)

A(x)=12x12A(x)=012x12=0x=1

Innsatt for y: y=32xy=321y=1

Det minste arealet får man når både x = 1 og y = 1.

DEL TO

Oppgave 1

a)

Vi har x0 og y0 fordi bakeren må lage 0 eller flere kaker. Han kan ikke lage et negativt antall kaker.

La x være antall kaker av type A, og y være antall kaker av type B.

For mel har vi:

300x+500y50000300100x+500100y500001003x+5y500

For sukker har vi:

100x+50y700010050x+5050y7000502x+y140

For smør har vi:

125x+50y850012525x+5025y8500255x+2y340

b)

Bruker Geogebra og legger inn ulikhetene.

c)

Fortjenesten er gitt ved: I(x,y)=160x+120y

Legger inn en glider for fortjenesten i Geogebra. Lager "skjæring mellom to objekt" mellom linjen 3x+5y=500 og glideren (gir punkt B), samt mellom linjen 2x+y=140 og glideren (gir punkt C). Ved hjelp av glideren finner jeg antall hele kaker som gir maksimal fortjeneste.

Bakermester Snipp må bake 29 kaker av type A og 82 kaker av type B. Fortjenesten blir da 16029+12082=14480 kr.

d)

Bruker glideren fra oppgave c) og beveger den ned til punktet C=(35,70), der hvor det lages 70 kaker av type B. Fortjenesten blir da 16035+12070=14000 kr.

Oppgave 2

a)

Bruker regresjonsanalyse i Geogebra.

Eksponentialfunksjonen Q(x)=15040,994x passer best med tallene i tabellen.

b)

c)

Lager linjen y=1000 og bruker "Skjæring mellom to objekt" mellom denne linjen og grafen til E. Får punkt A=(80.89, 1000).

Det betyr at prisen per lue må være maksimalt 80.89 kroner (eller 80 kroner) for at etterspørselen skal være på mer enn 1000 luer per år.

d)

Lager en funksjon for inntekten, hvor inntekten er lik etterspørsel ganger pris per lue: I(x)=E(x)x

Tegner grafen til I(x) i Geogebra. Lager linjen y=100000 og bruker "Skjæring mellom to objekt" mellom denne linjen og grafen til I(x). Får punktene B=(124.3, 100000) og C=(300.2, 100000).

For å selge luer for til sammen 100 000 kr, må bedriften prise luene til ca. 124 kr per lue eller 300 kr per lue. Imidlertid kan bedriften tjene enda mer dersom den priser luene mellom 124 kr og 300 kr.

Oppgave 3

a)

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra, og velger hypergeometrisk fordeling. 8 av de 20 ansatte er menn, og utvalget er 3.

Sannsynligheten for at nøyaktig 2 av de 3 vinnerne er menn, er 0,2947.

b)

Velger binomisk fordeling, der antall lotterier er 12, og sannsynligheten for at 2 av 3 vinnere er menn, er 02947 (fra forrige oppgave).

Sannsynligheten for at 2 av 3 vinnere er menn i 6 av de 12 lotteriene, er 0,0745 = 7,45%.

c)

Finner først sannsynligheten for at flertallet av vinnere er kvinner i ett lotteri. Sannsynligheten er 0,6561.

Finner deretter sannsynligheten for at flertallet av vinnerne er kvinner i minst halvparten av lotteriene.

Sannsynligheten er 0,9224 = 92,24 %.

d)