R1 2019 høst LØSNING

DEL EN

Oppgave 1

a)

$ f(x)=x^4-2x+ln(x) \\ f'(x)= 4x^3-2+ \frac 1x$

b)

$ g(x)= x^7e^x \\ g'(x) = 7x^6e^x + x^7e^x = e^xx^6(7+x) $

c)

$h(x)= \frac{ln(2x)}{x^2} \\ h'(x) = \frac{\frac{1}{2x} \cdot 2 \cdot x^2-2 \cdot x \cdot ln(2x)}{x^4} \\ h'(x)= \frac{1- 2 ln(2x)}{x^3}$

Oppgave 2

$4(ln(a \cdot b^3))-3(ln(a\cdot b^2))-ln(\frac ab) \\ 4 ln(a) + 12 ln(b) - 3ln(a) - 6 ln(b) - ln (a) + ln(b) = 7 ln (b)$

Oppgave 3

a)

Dersom P(x) skal deles på (x-2) og gå opp. må P(x) = 0, dvs. P(2) = 0

$P(2) = 0 \\ 2^3+ 6 \cdot 2^2 + k\cdot 2 -30 =0 \\ 8+24+2k-30=0 \\ k=-1$

b)

Bruker så ABC formel på svaret og får:

$ x^2 + 8x + 15 = 0 \\ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64-4 \cdot 1 \cdot 15}}{2} \\ x = \frac{-8 \pm 2}{2} \\ x = -5 \vee x =-3$

Faktorisert form: $x^3 +6x^2 - x -30 = (x-2)(x+3)(x+5)$

c)

Fra b har vi at:

$(x-2)(x+3)(x+5) \leq 0$

Tegner fortegnsskjema:

$x \in < \leftarrow, -5] \cup [-3,2]$

Oppgave 4

a)

$\vec{AB} = [(2-(-2), -1-1] = [4,-2] \\ \vec{BC} = [(4-2, 2-(-1)]= [2, 3]$

b)

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = [4,-2]\cdot[2,3] = 4 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 = 8-6 =2 \neq 0$

To vektorer som er normale på hverandre har skalarprodukt lik null. Disse står ikke 90 grader på hverandre.

c)

$\vec{AD} = [t+2, 2]$

Bruker skalarprodukt igjen:

$ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0 \\ [4,-2] \cdot [t +2,2] =0 \\ 4t + 8 - 4 =0 \\ t = -1$

d)

Et parallellogram er en firkant der to sider er parallelle. Det kan her skje på to måter:

$\vec{AB} \parallel\vec{CD}$

eller

$\vec{BC} \parallel\vec{DA}$

Vi sjekker begge mulighetene.

$\vec{AB} \parallel\vec{CD} \\ \vec{AB} = k \vec{CD} \\ [4,-2] = k [t-4, 1] \\ 4 = kt-4k \wedge -2 = k \\ t =2$

t = 2 gir ett parallellogram.

$\vec{BC} \parallel\vec{DA} \\ \vec{BC} = k \vec{DA} \\ [2, 3] = k [-2-t,-2] \\ 2=-2k-kt \wedge 3=-2k \\ k = - \frac 32 \wedge 2 =3 + \frac 32 t \\ t= - \frac 23$

$t = - \frac 23$ gir også et parallellogram.

Oppgave 5

a)

$\binom{7}{3} \cdot \binom{5}{2} = \frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}\cdot\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=35\cdot10=350$

Det er mulig å sette sammen 350 komiteer.

b)

P(Anne og Jens)$=\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{35}$

Sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med i komiteen er $\frac{6}{35}$

c)

P(Anne eller Jens) = P(Anne men ikke jens) + P(Jens men ikke Anne)

$=\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{5}+\frac{4}{7}\cdot\frac{2}{5} \\ =\frac{9}{35}+\frac{8}{35}=\frac{17}{35}$

Sannsynligheten for at én av dem blir med i komiteen er $\frac{17}{35}$

Oppgave 6

a)

Diagonal i rektangelet er alltid 2. Arealet er alltid $ A = x \cdot \sqrt{4-x^2} $. Brukte pytagoras for å finne lengden av OC.

Areal av skravert område blir da

$A_{skravert} = \frac 14 \pi \cdot2^2 - x \cdot \sqrt{4-x^2} = \pi - x \sqrt{4-x^2}$

b)

Deriverer F(x) og finner maksimumspunktet:

$F'(x) = \\ ( \pi - x \sqrt{4-x^2})' = \\ -(1 \cdot \sqrt{4-x^2} + x \cdot (-2x) \frac 12 (4-x^2)^{- \frac 12}) = \\ -( \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2}} ) = \\ - ( \frac{(\sqrt{4-x^2})(\sqrt{4-x^2})}{(\sqrt{4-x^2})} -\frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2}} ) = \\ - \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \\ \frac{2(x-\sqrt{2}(x+\sqrt{2})}{\sqrt{4-x^2}}$

Av uttrykket ser vi at $x= \sqrt 2$ gir den deriverte lik null. Dette stemmer også med hva vi vet om største areal av en rektangulær firkant med gitt omkrets, den hvite firkanten vil være et kvadrat.

Oppgave 7

a)

CB er like lang som EB fordi begge linjestykker tangerer samme sirkelsektor ( i C og E).

b)

Begge trekantene har en felles vinkel i A. Begge trekanten har en vinkel på 90 grader (i C og E). Trekantene er derfor formlike.

Bruker formlikhet:

$\frac{c-a}{r} = \frac{b}{c} \\ r = \frac{a(c-a)}{b} $

c)

Trekanten ABC har areal: $A= \frac {a \cdot b}{2}$

Fra figuren ser vi at trekantene CDB og ADB utgjør trekanten ABC

Areal CDB: $\frac{r \cdot a}{2}$

Areal: ADB: $\frac{c \cdot r}{2}$

Kombinerer:

$\frac{r \cdot a}{2}+ \frac{c \cdot r}{2}=\frac {a \cdot b}{2} \\ra + rc = ab \\ r(a+c) =ab$

d)

$a \cdot b = (a+c) \cdot r \\ ab =(a+c) \cdot \frac{a(c+a)}{b} \\ ab^2 = (a^2+ac)(c-a) \\ ab^2= a^2c - a^3 + ac^2- a^2c \\ ab^2 = - a^3+ ac^2 \\ a^2 + b^2 = c^2$

DEL TO

Oppgave 1

a)

I denne type oppgave kan det være lurt å tegne et valgte, for å ha klarhet i situasjonen.

Sansynlighet spam: $ P(S)$ Sans. ikke spam : $P( \overline{S})$

Ord fra liste: L

$P(L) = P(S) \cdot P(L |S) + P( \OVERLINE{S}) \cdot$

b)

c)

Oppgave 2

a)

$f(x)= -x^3+x^2+kx+2 \\ f'(x) = -3x^2+2x+k$

Dersom andregradsfunksjonen har to nullpunkt vil den også skifte fortegn slik at f har et bunnpunkt og et toppunkt. For at dette skal være tilfelle må $b^2-4ac$ være positivt:

$4-4(-3)k >0 \\ 4+12k>0 \\ k> \frac 13$

b)

f har toppunkt i (2, f(2)):

$f'(2)=0 \\ -3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 +k=0 \\ -12+4+k =0 \\k =8$

Finner så f(2), når k = 8 :

$f(2) = -3^3+2^2+8 \cdot 2+2 = -8+4+16+2 = 14$

Toppunkt (2, 14)

Bunnpunkt:

Finner den andre x verdien som gir f'(x) = 0, når k = 8.

Bruker ABC formelen og får x = 2 eller $x = - \frac 43$. 2 er x verdien til toppunktet, og $- \frac 43$ er x verdien til bunnpunktet. Vi finner y koordinaten til punktet ved å finne $f(- \frac 43)$ som gir $- \frac{122}{27}$

Bunnpunkt $( - \frac{4}{3}, - \frac{122}{27})$

c)

$ f^{}(x) = - 6x+2 $

Oppgave 3

a)

Ballene er i luften i henholdsvis 6,4 og 5,7 sekunder.

b)

c)

d)

Oppgave 4

a)

Skriver inn funksjonen f, og punktene P og Q. Bruker linjefunksjonen og får et uttrykk for linjen gjennom P og Q. Setter denne linjen lik f og får x koordinatene til R og Q

b)

Her viser vi at stigningstallene til tangentene multiplisert blir -1- Da står linjene normalt på hverandre. Du kan også bruke skalarprodukt.