S2 2018 vår LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

oppgave som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsning laget av mattepratbruker Tommy O.

DEL 1

Oppgave 1

a)

f(x)=2x34x+1f(x)=6x24

b)

g(x)=xex

g(x)=1exxex(ex)2=ex(1x)(ex)(ex)=1xex

c)

h(x)=ln(x2+4x)g(u)=ln(u),u=x2+4xh(x)=g(u)u(x)=1uu=2x+4x2+4x

Oppgave 2

I5x+y+2z=0II2x+3y+z=3III3x+2yz=3

Legger sammen likning II og III.

2x+3x+3y+2y+zz=335x+5y=0x+y=0x=y

Setter inn x=y i likning I.

5(y)+y+2z=04y+2z=02z=4yz=2y

Setter inn z=2y og x=y i likning II.

2(y)+3y+2y=33y=3y=1

x=y=1

z=2y=21=2

Løsning: x=1,y=1,z=2

Oppgave 3

a)

P(x)=x33x213x+15

P(1)=13312131+15=1313+15=0

x=1 er et nullpunkt, så P(x) er delelig med (x-1).

b)

Utfører polynomdivisjon for å faktorisere P(x)

Resten faktoriseres: x22x15=(x25x+3x+(5)3)=(x5)(x+3). Bruk andregradsformelen ved behov.

Vi har P(x)=(x5)(x1)(x+3). Bruker fortegnsskjema for å løse ulikheten.

P(x)>0 når 3<x<1 og x>5.

Løsningen kan også skrives som x3,1 og x5,

Oppgave 4

a)

Differansen, d, mellom to ledd i en aritmetisk rekke er konstant. Finner d:

a4=a1+d+d+d14=2+3d3d=12d=4

n 1 2 3 4 n
an 2 6 10 14
Formel 2+40 2+41 2+42 2+43 2+4(n1)=4n2

an=4n2

b)

Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved:

Sn=a1+an2n

Finner a100:

a100=41002=398

Regner ut summen av de 100 første leddene i vår rekke:

S100=2+3982100=200100=20000

Oppgave 5

a)

Dersom 1<k<1 i en geometrisk tallfølge an=a1kn1 sier vi at den konvergerer. I slike tilfeller er Sn=a11k når n går mot uendelig.

Her har vi an=3(14)n1. Siden 1<k<1, så konvergerer rekken.

Regner ut summen av rekken når n går mot uendelig:

Sn=31(14)=334=343=4

b)

0,242424...=0,24+0,0024+0,000024+...=24100+241002+241003+...

Dette er en geometrisk rekke hvor

an=24100(1100)n1

Siden 1<k<1, konvergerer rekken. Summen av denne rekken når n går mot uendelig er:

Sn=2410011100=2410099100=2499

Det betyr at 0,242424... kan skrives som 2499

Oppgave 6

a)

f(x)=61+ex

Bruker kvotientregelen for derivasjon.

f(x)=0(1+ex)6(ex)(1+ex)2=6ex1+2ex+e2x

Alle potenser av e er positive (og større enn 0). Både telleren og nevneren til f(x) er altså positive. En brøk med positiv teller og nevner har alltid positiv verdi. Altså er f(x)>0 for alle verdier av x. Det vil si at f(x) er strengt voksende.

b)

Finner grenseverdien av f(x) når x går mot uendelig:

limxex=0

Det vil si at når x går mot uendelig, går ex mot null. Følgelig har vi at:

limx61+ex=61+0=6

Finner grenseverdien av f(x) når x går mot minus uendelig:

limxex=e=

Det vil si at når x går mot minus uendelig, går ex mot uendelig. Følgelig har vi at:

limx61+ex=6=0

Altså er 0<f(x)<6.

c)

Bruker kvotientregelen for derivasjon.

f(x)=(6ex)(e2x+2ex+1)(6ex)(2e2x2ex)(e2x+2ex+1)2=6e3x12e2x6ex+12e3x+12e2x(e2x+2ex+1)2=6e3x6ex(e2x+2ex+1)2

Brøken kan forkortes videre, men vi behøver ikke det. Vi skal finne x-verdien hvor f(x)=0, og trenger bare å se på telleren videre. Nevneren er et kvadrat av et uttrykk som alltid er større enn 0. Nevneren er derfor alltid større enn 0.

Vi har f(x)=0 når 6e3x6ex=0.

6e3x=6exe3x=ex3x=xx=0

f(x) har et vendepunkt i x=0. Finner y-verdien:

f(0)=61+e0=61+1=3

f(x) har et vendepunkt i (0,3).

d)

Vi vet at 0<f(x)<6 og at vi har et vendepunkt i (0,3). Vi vet også at dette er en logistisk funksjon, som er S-formet. Vi vet ikke så mye om x-aksen, men kunne eventuelt regne ut noen av punktene. Skisse av funksjonen:

Oppgave7

Oppgave 8

a)

x=1,10z=xμσ=1,1010,05=0,100,05=105=2

x=0,90z=0,9010,05=0,100,05=105=2

P(0,90X1,10)=P(2Z2)=P(Z2)P(Z2)=P(Z2)(1P(Z2))0,97725(10,97725)=0,977250,02275=0,95450

Sannsynligheten for at et tilfeldig valgt rugbrød veier mellom 0,90 kg og 1,10 kg er 95,45%.

b)

μS=nμx=1001,00kg=100kg

σS=nσx=1000,05kg=100,05kg=0,5kg

S=100,5z=100,51000,5=0,50,5=1

S=99,5z=99,51000,5=0,50,5=1

P(99,5S100,5)=P(1Z1)=P(Z1)(1P(Z1))=0,84134(10,84134)=0,841340,15866=0,68268

Sannsynligheten for at veksten av rugbrødene på en tilfeldig pall er mellom 99,5 kg og 100,5 kg er ca. 68,3%.

Oppgave 9

g(x)=5f(x)+3

g(x)=5f(x). Det vil si at dersom f(x)=0, så er g(x)=0. f(x) og g(x) har derfor samme ekstremalpunkter. Derimot vil grafen til g synke når grafen til f stiger og omvendt, fordi g(x) alltid har motsatt fortegn som f(x).

Et toppunkt for f er (2,3)

g(2)=5f(2)+3=53+3=15+3=12

g(x) har et bunnpunkt i (2,-12).

Et bunnpunkt for f er (3,4)

g(3)=5f(3)+3=5(4)+3=20+3=23

g(x) har et toppunkt i (3,23).

DEL 2

Oppgave 1

a)

Bruker Geogebra til å utføre en regresjonsanalyse på punktene i tabellen. Velger polynomfunksjon av 3. grad som modell for kostnadene, h(x). Se skjermbildet under.

Jeg har funnet en modell for kostnaden, h(x)=0,05x31.97x2+39,43x+501,02

Inntekten er 80 kroner per enhet, og kan uttrykkes som I(x)=80x.

For å finne en modell for overskuddet, O(x), bruker jeg CAS i Geogebra, og regner ut O(x)=I(x)-h(x). Se skjermbildet under.

Jeg har dermed vist at funksjonen O(x)=0,05x2+2,0x2+41x501 (noe avrundet) er en god modell for det daglig overskuddet til bedriften ved produksjon av x enheter.

b)