S1 2018 høst LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Oppgaven som pdf

Løsning laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

DEL 1

Oppgave 1

a)

x23x+1=3x+8x26x7=0x=6±(6)24(7)2x=6±82x1=1x2=7

b)

lg(x4)lg(x3)+lg(x2)lgx=64lgx3lgx+2lgxlgx=62lgx=6lgx=3x=103x=1000

c)

104x=52x22x2x=51022xx=122x=21x=1

Oppgave 2

a)

(a+2b)2(2ba)2=(a2+4ab+4b2)(4b24ab+a2)=a2+4ab+4b24b2+4aba2=8ab

b)

3330+31+32+33=271+13+132+133=27+927+327+127=27+1327

Jeg synes dette svaret er penest, men man kan også skrive svaret slik:

27+1327=72927+1327=74227

Oppgave 3

x26x7

Løser likningen x26x7=0. Kjenner igjen denne likningen fra oppgave 1a). Løsningen er x1=1x2=7

Et andregradsuttrykk ax2+bx+c med nullpunkter x1 og x2 kan faktoriseres slik: ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)

Faktoriserer andregradsfunksjonen: x26x7=(x+1)(x7)

Lager fortegnsskjema:

Svar:

x26x7 når x1x7

Alternativt kan svaret skrives slik:

x,1][7,

Velg din favoritt!

Oppgave 4

a)

b)

Bruker hypergeometrisk sannynlighet, og leser av binomialkoeffisientene i Pascals trekant. (Eksempel: (74) finner du i rad nr.7 og tall nr.4 i raden. Husk å begynne å telle på rad nr.0 og tall nr.0. Hvis du har talt riktig finner du at (74)=35).

P(2J2G)=(42)(32)(74)=6335=1835

Sannsynligheten for at det blir trukket ut to jenter og to gutter er 1835

c)

P(minst en gutt) = 1 - P(ingen gutter) = 1(44)(30)(74)=11135=3535135=3435

Sannsynligheten for at minst én gutt fra elevrådet blir med på turen er 3435

Oppgave 5

a)

[x+y=12x+y=5]

Trekker likning II fra likning I og får:

x(2x)+(yy)=1(5)3x=6x=2

Setter inn x=2 i likning I og får:

2+y=1y=1

Løsning: x=2y=1

b)

Uttrykker de to første ulikhetene med hensyn på y:

Ulikhet nr. 1:

x2y8yx82yx2+4

NB: husk å snu ulikhetstegnet når du ganger eller deler en ulikhet med et negativt tall.

Ulikhet nr. 2:

x+y1yx+1

Vi har nå de tre ulikhetene:

yx2+4yx+1y2x5

Tegn de tre linjene y=x2+4,y=x+1,y=2x5 (for hånd siden det er del 1). Legg godt merke til hvilken vei ulikhetstegnet er i de fire ulikhetene, og skraver området som avgrenses av disse.

c)

Sjekker verdien til 3xy i punkt A,B og C.

Punkt A: 367=11

Punkt B: 32(1)=7

Punkt C: 3(2)3=9

Størrelsen 3xy har størst verdi i punktet (6,7). Da er verdien 11.

Oppgave 6)

a)

O(x)=0,25x2+10x75O(x)=0,5x+10

Setter O(x)=0foråfinnetoppunktet

0,5x+10=00,5x=10x=20

Siden O er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd, vet jeg at funksjonen har et toppunkt, og ikke et bunnpunkt. Den produksjonsmengden som gir størst overskudd er 20 enheter per dag. Finner overskuddet O(20)

O(20)=0,25202+102075=0,25400+20075=100+20075=25

Overskuddet blir 25 000 kr.

b)

Setter O(x)=0 for å finne nullpunktene. Bruker abc-formelen for å løse likningen.

0,25x2+10x75=0x=10±1024(0,25)(75)2(0,25)x=10±100750,5x1=10+50,5x2=1050,5x1=10x2=30

Det vil bli overskudd for en daglig produksjon mellom 10 og 30 enheter. Siden O er en andregradsfunksjon med toppunkt på x=20, vet jeg at funksjonen har en positiv verdi fra x=10 til x=30.

Oppgave 7

a)

Leser av de aktuelle punktene grafisk: (-1,5) og (2,8).

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [-1,2]:

a=(y2y1x2x1=852(1)=33=1

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [-1,2] er 1.

b)

f(1)=4 fordi den momentane vekstfarten i punktet (1,f(1)) tilsvarer vekstfarten til tangenten. Jeg ser at tangenten går fra punktet (-1,5) til (0,9). Det vil si at vekstfarten til tangenten er 4.

f(1)=0 fordi jeg ser at x=1 er toppunktet til funksjonen. Den momentane vekstfarten i toppunktet er alltid 0.

c)