Avstander mellom punkter, linjer og plan i rommet

Metrisk rom, bakgrunn for avstandsbegrep (avansert, noe utover R2 pensum)

I en mer generell kontekst er det euklidske rommet <tex>(\mathbb{R^3})</tex> et metrisk vektorrom, dvs. at vi har definert en metrikk, eller avstandsfunksjon <tex>d(x,y)</tex>, som tilfredsstiller kravene

<tex>\begin{array}{cl} I.& d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y \\ II.& d(x,y)\geq 0 \, \forall x,y \\ III. & d(x,y)=d(y,x) \, \forall x,y\\ IV.& d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)\, \forall x,y,z \end{array}</tex>

Metrikken er i vårt tilfelle definert som

Her er x,y og z romlige vektorer (selv om vi har droppet vektorpil).

Avstand mellom punkter

Med metrikken i bakhodet definerer vi avstanden mellom punkter på vanlig måte, dvs.

Avstand mellom et punkt og en linje

Definisjon

Vi tenker oss en linje som en delmengde <tex>\mathcal{U}</tex> av hele det euklidske rommet, dvs. at <tex>\mathcal{U}</tex> er mengden av alle punkter på linja. Da er avstanden mellom et punkt <tex>x</tex> og <tex>\mathcal{U}</tex>

<tex>d(x,\mathcal{U})=\min_y(|x-y|:y\in \mathcal{U})</tex>

Altså er avstanden mellom punktet x og linja <tex>\mathcal{U}</tex> den minste avstanden mellom x og alle punkter y på linja.

Konkret beregning

Gitt punktet <tex>\vec{p}=(x,y,z)</tex> og linja på parameterform <tex>\vec{l}(t)=(t,y(t),z(t))</tex> finner vi avstanden ved først å beregne vektoren;

<tex>\vec{d}(t)=\vec{l}(t)-\vec{r}</tex>.

Tar vi lengden av denne vektoren får vi en skalarfunksjon av variabelen <tex>t</tex> som representerer avstanden mellom punktet og punkter på linja. Bruker vi så definisjonen over, vil minimum av <tex>|\vec{d}(t)|</tex> være avstanden vi er ute etter, som typisk finnes ved å nullstille den deriverte <tex>\frac{d(|\vec{d}(t)|)}{dt}</tex>.

Avstand mellom et punkt og et plan

Definisjon

Dersom <tex>\mathcal{V}</tex> er delmengden bestående av alle punkter i et plan og <tex>x</tex> er et punkt, er avstanden definert som

<tex>d(x,\mathcal{V})=\min_{y}(|x-y|:y\in\mathcal{V})</tex>

Konkret beregning

Gitt et plan , <tex>ax+by+cz=d</tex>, med enhetsnormalvektor <tex>\frac{1}{|(a,b,c)|}(a,b,c)</tex>, og et punkt <tex>\vec{p}=(x,y,z)</tex>, finner vi avstanden mellom punktet og planet ved først å finne et vilkårlig punkt i planet. (Hvis <tex>c\neq 0</tex> kan vi f.eks. la <tex>x=y=0</tex> i ligningen for planet. Da blir <tex>z=\frac{d}{c}</tex> og vi får punktet <tex>(0,0,\frac{d}{c})</tex> som ligger i planet.) Tar vi differansen mellom punktet i planet og punktet <tex>\vec{p}</tex>, (eksempelvis <tex>\vec{v}-(0,0,\frac{d}{c})</tex>) og tar skalarproduktet av denne og enhetsnormalvektoren, finne vi avstanden vi er ute etter.