Vektorprodukt

Vektorproduktet er en operasjon mellom to 3-dimensjonale vektorer som har nyttige anvendelser i blant annet volumberegninger og når vi skal finne normalvektorer til flater og plan i rommet. Merk at vektorproduktet slik det er definert ikke gir mening for annet enn 3- og 7-dimensjonale vektorer.

Definisjon av vektorprodukt (kryssprodukt)

Vi bruker notasjonen <tex>\times</tex> for vektorprodukt. Lar vi <tex>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</tex> og <tex>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</tex> er

<tex>\vec{v_1}\times \vec{v_2}=\left ( y_1z_2-y_2z_1,-(x_1z_2-x_2z_1),x_1y_2-x_2y_1 \right )</tex>

Merk at kryssproduktet ikke er kommutativt. Bruker vi definisjonen ser vi at

<tex>\vec{v_2}\times \vec{v_1}=-\vec{v_1}\times \vec{v_2}</tex>

Geometrisk tolkning

Geometrisk bilde av vektorproduktet

Vektorproduktet <tex>\vec{v_1}\times \vec{v_2}</tex> er en ny vektor, si <tex>\vec{v_3}</tex>, som står normalt (vinkelrett) på både <tex>\vec{v_1}</tex> og <tex>\vec{v_2}</tex> og har lengde <tex>|\vec{v_1}||\vec{v_2}||\sin(\theta)|</tex>. Retningen til <tex>\vec{v_3}</tex> følger høyrehåndsregelen, dvs. at dersom vi tilpasser et slags koordinatsystem slik at <tex>\vec{v_1}</tex> følger x-aksen i positiv retning og <tex>\vec{v_2}</tex> følger y-aksen i positiv retning, vil <tex>\vec{v_3} </tex> peke i positiv retning langs z-aksen.