Andre ordens differensiallikninger

Andre ordens ligninger vil si at ligningene høyst inneholder den andrederiverte av funksjonen vi skal løse for. Den kanskje enkleste formen for andre ordens ligninger kalles homogene og lineære med konstante koeffisienter. Dvs. at ligningen er på formen <tex>f^{,,}+af^,+bf=0</tex>, der <tex>a</tex> og <tex>b</tex> er gitte konstanter. At en ligning er lineær betyr ikke annet enn at de deriverte kun forekommer i første orden og i ulike ledd, dvs. at de ikke er opphøyd i andre tall enn <tex>1</tex> og ikke forekommer flere ganger i et produkt (f.eks. som <tex>f\cdot f^,</tex>). Lineære, homogene ligninger har egenskapen at dersom både f(x) og g(x) er løsninger, er <tex>f(x)+g(x)</tex> (og enhver lineærkombinasjon) også løsning. Dette ser vi lett ved innsetting siden derivasjon er en lineær operasjon (operator), dvs. at <tex>(f+g)^,=f^,+g^,</tex>. At ligningen er homogen betyr at høyresiden (slik ligningen er skrevet over) er identisk lik <tex>0</tex>. Koeffisientene er uttrykkene foran de deriverte, f.eks. er <tex>1</tex>,<tex>a</tex> og <tex>b</tex> koeffisientene til ligningen over.