R1 2014 høst LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Feil i løsningsforslag:
Del 1 2a: Snek seg inn en trykkfeil for det skal stå +2x og ikke -2x i andregradspolynomet.
Del 2 4b forsvant i farten: Løs likningen T(x)=16/2 som gir x=1 og x=2.

DEL EN

Oppgave 1

a)

f(x)=5x32x2+5f(x)=15x24x

b)

g(x)=x2exg(x)=2xex+x2ex=xex(2+x)

Oppgave 2

a)

Her må vi prøve oss fram. Det lønner seg å begynne med det enkleste muligheter først. Man observerer at P(1) = 0 og vet da at P er delelig på (x-1):

x3+x210x+8:(x1)=x2+2x8(x3x2)2x210x(2x22x)8x+8


Ved å faktorisere andregradspolynomet får man røtter for x= -4 og x =2.

P faktorisert: ( x - 1) (x - 2)(x + 4).

b)


P(x)0x∈<←,4][1,2]

Oppgave 3

a)

L=10lg(II0)L=10(lgIlgI0)L=10(lgIlg1012)L=10lgI+120

b)

L=10lgI+120L=10lg104+120L=80

Det er 80 db på arbeidsplassen.

c)

L=10lgI+12010010lgI+120lg!=2I=102

Det svarer til 102W/m2

Oppgave 4

a)

b)

f´(x)=2(x1)(2x4)(x1)2=2(x1)2

c)

f(2)=0f´(2)=2y=ax+b0=22+bb=4y=2x4

Oppgave 5

a)

Stigningstallet til linjen y= ax + b er a. Dvs. hvor mye man går opp eller ned på y aksen når man går en enhet til høyre på x- aksen, for å treffe linjen igjen. Det er nettopp det v vektor gjør.

b)

Dersom linjen står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet mellom retningsvektorene lik null.

[1,a1][1,a2]=01+a1a2=0a1a2=1

Oppgave 6

23(34)x2x=38(34)x2x=(34)2x2x2=0x=1x=2

Oppgave 7

a)

AABCD=a2

Lengden AC = 2a

Areal stort kvadrat blir da:

AAEFC=(2a)2=2a2

Det store kvadratet har dobbelt så stort areal som det lille. Dett kan vi se lett ved geometriske betraktninger, siden ACD er lik BFC.

b)

Avsett et linjestykke AB = 10 cm. Konstruer midtnormalen til AB, CD, slik at C ligger 5 cm under AB og D ligger 5 cm over linjestykke AB. Du har nå to diagonaler, AB og CD, begge på 10 cm. Disse utspenner et kvadrat ABCD på 50cm2

Oppgave 8

f(x)=x3xf(x)=3x21f(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx=limΔx0(x+Δx)3(x+Δx)(x3x)Δx=limΔx0(x2+2xΔx+(Δx)2)(x+Δx)xΔxx3+x)Δx=limΔx0x3+2x2Δx+x(Δx)2+x2Δx+2x(Δx)2+(Δx)3Δxx3Δx=limΔx0Δx(2x2+xΔx+x2+2xΔx+(Δx)21)Δx=2x2+x21=3x21

DEL TO

Oppgave 1

a)

Fra Figuren ser man at etter 15 sek er den ca 0,41 millimol per liter.

Fra Figuren ser man at det tar ca 2 min og 14 sekunder, for å nå 2,0 millimol per liter.

b)

Graf tegnet i a.

Dersom t blir stor ser man at det siste leddet i funksjonsuttrykket går mot null og f går mot 2,5.

c)

Fra Figuren ser man at reaksjonshastigheten da er 0,006 millimol per liter, per sekund.

Oppgave 2

a)

Primtall er tall som kun er delelige med seg selv og en: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, og 23.

b)

Vi har 25 tall, hvorav 9 primtall. Trekkning uten tilbakelegging. Dette er en hypergeometrisk situasjon:


Sannsynligheten for å trekke ut akkurat to primtall er 37,9%.

c)


Sannsynligheten for å trekke ut 3, 4 eller 5 primtall er 23%.

Oppgave 3

a)

AB=[2,4]AC=[t+1,t1]kAB=AC2k=t+14k=t1t=3

Punktene ligger på linje dersom t = -3.

b)

Finner den eller de t verdier som gir skalarprodukt lik null:

AC=[t+1,t1]CB=[1t,5t](t+1)(1t)+(t1)(5t)=02t2+6t4=0t=1t=2

Oppgave 4

a)

Areal trekant AEH + GFC: x(42x)=4x2x2

Areal trekant HGD + EBF: 2x(4x)=8x2x2

Areal av alle fire trekanter: 12x4x2

Areal parallellogramm EFGH:

T(x)=16(12x4x2)=4x212x+16

b)

T(x)=84x212x+8=0x=1x=2

Når x=1 eller når x=2 blir arealet av parallellogrammet halvparten av kvadratets areal.

c)

Fra Figuren ser man at arealet blir minst mulig når x = 1,5. Arealet er da 7.

d)

Skalarproduktet mellom HE vektor og HG vektor skal da være null.

HEHG=0[x,4+2x][4x,2x]=04xx28x+4x2=0x(3x4)=0x=0x=43

Dersom x=0 er EFGH et kvadrat, identisk med ABCD. x = 4/3 gir et innskrevet rektangel.

Oppgave 5

a)

B ( 5, 2)

C ( 1, 5)

y = ax + b

Stigningstall a: ΔyΔx=2551=34

5=341+bb=234y=34x+234

b)

Stigningstall:

12a=1a=2


Likning:

Punkt C (1, 5)

y=ax+b5=21+bb=7y=2x+7

c)

Ser på linjene som går gjennom A og B først:

43x+13=13x+1134x+1=x+11x=2

Innsatt i y=43x+13 gir y = 3.

Setter x = 2 inn i y= -2x+7, og får y = -4+7 =3. Altså skjærer alle de tre høydene i punktet (2,3).

Oppgave 6

a)

Vinkel BAS er lik vinkel ABS. Vi kaller dem for x:

u+2x=1802x=180ux=90u2

b)

AS er radien i sirkelen og står følgelig vinkelrett på tangenten i A:

v+90u2=90v=u2

Oppgave 7

a)

f(x)=uvu>0,v>0(lnf(x))´=1uu´1vv´=u´vvúuv

b)

Vi husker resultatet fra oppgave a.

(uv)´=(elnuv)´=elnuvu´vvúuv=uvu´vvuuv=uv´vuv2