1T 2015 høst LØSNING

DEL EN

Oppgave 1

$1,8 \cdot 10^{12} \cdot 0,0005 = \\ 1,8 \cdot 10^{12} \cdot 5 \cdot 10^{-4} = \\ 1,8 \cdot 5 \cdot 10^{12-4} = \\ 9,0 \cdot 10^{8}$

Oppgave 2

<math> \left[ \begin{align*}2x+3y = 13 \\ 4x-2y=2 \end{align*}\right] </math>

Ganger første likning med -2:

<math> \left[ \begin{align*}-4x-6y = -26 \\ 4x-2y=2 \end{align*}\right] </math>

Legger sammen likningnene og x forsvinner:

<math> \left[ \begin{align*}-8y= -24 \end{align*}\right] </math>

Det gir y = 3. Innsatt i en av likningnen gir det x = 2. Løsning er altså $x=2 \wedge y=3$

Oppgave 3

$-2x^2+6x<0 \\ -2x(x- 3)<0$

Fortegnsskjema:

$x \in < \leftarrow, 0> \cup < 3, \rightarrow>$

Oppgave 4

$( \sqrt 2 )^2+ \frac {\sqrt8}{2} +\sqrt[3]{8} - \frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}}= \\ 2 - \sqrt 2 + 2 - \frac{\sqrt[3]{2^7}}{\sqrt[3]{2}} = \\2 - \sqrt 2 + 2 - \frac{4\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \\ -\sqrt 2 $

Oppgave 5

$x^2+bx +c=0$ Løsninger $x_1= -4 \wedge x_2=2$

Setter inn for x:

$16-4b+c=0 \wedge 4+2b+c=0$

Multipliserer den siste med -1 og legger dem sammen:

12- 6b = 0 gir b = 2. Ved innsetting finner man c = -8

$x^2+2x - 8=0$

Oppgave 6

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-3}{2x-2} + \frac 12 =\\ \frac{2x+2-x+3+x-1}{2(x-1)}=\\ \frac{2x+4}{2(x-1)} = \\ \frac{x+2}{x-1} $

Oppgave 7

$\frac{x^2-4xy+4y^2}{3xy- 6y^2} = \\\frac{(x-2y)^2}{3y(x-2y)} = \\ \frac{x-2y}{3y}$

Oppgave 8

$2^{4x} \cdot 2^{x^2} = 32 \\ 2^{x^2+4x} = 2^5 \\ x^2+4x-5=0 \\ x= \frac{-4 \pm \sqrt{16+20}}{2} = \\ x= -5 \vee x = 1$

Oppgave 9

Katetene er like lange. Lengde x:

$x^2 + x^2 = ( \sqrt2)^2 \\ 2x^2=2 \\ x =1$

Arealet blir da halvparten av en ganger en. A = 0,5

Oppgave 10

a)

$f(x)= x^2-x-2$

$f(x)=0 \\ x^2-x-2 =0 \\ x= \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} \\ x= -1 \vee x = 2$

Nullpunkter er (-1,0) og (2, 0)

b)

Koefisienten foran andregradsleddet er positiv, det betyr at grafen vender sin hule side opp, og har et minimumspunkt. Dette ligger på symmetrilinja som er x= 0,5.

Eller vi kan derivere og sette den deriverte lik null:

$f'(x): 2x -1 \\f'(x)=0 \\ x = \frac 12$

$f( \frac 12) = \frac 14 - \frac 24 - \frac 84 = - \frac 94$

Dvs. bunnpunkt i $( \frac 12, - \frac 94)$.

c)

$y=ax+b \\ a = f´(2)= 3 \\ y =f(2) = 4-2-2=0 \\ y=ax+b \\ 0=3 \cdot 2 + b \Rightarrow b= -6 \\ y=3x-6 $

d)

Linje l: $y=ax+b \\7 = 3 \cdot 3 +b \Rightarrow b=-2 \\ y =3x-2$

Finner skjæring ved å sette uttrykkene lik hverandre:

$x^2-x-2=3x-2 \\ x^2-4x=0 \\ x(x-4)=0 \\ x=0 \vee x=4$

Finner y koordinatene:

$f(0)= -2 \wedge f(4) = 10$

Skjæringspunktene er (0, -2) og (4, 10).

e)

Oppgave 11

Formlikhet.

Dersom k er gjennomsnittet av lengdene til det parallelle sidene i det lille trapeset, er tilsvarende lengde i det store trapeset 3k.

Arealet av det lille trapeset er kh = A

Arealet av det store trapeset er $3k\cdot 3h = 9kh = 9A$

Oppgave 12

a)

b)

c)

Oppgave 13

Finner først hypotenusen:

$b = \sqrt{12^2+5^2} = 13 \\ cos C = \frac{5}{13} $

Oppgave 14

Nedfeller normalen Fra C på AB. Det er høyden h i trekanten ABC. Kaller punktet normalen treffer AB på for D.

$Sin B = \frac{h}{20} \\ \frac{3}{5} = \frac{h}{20} \\ h = 12$

Bruker pytagoras to ganger, for å finne grunnlinja AB:

AB = AD + DB

DEL TO

Oppgave 1

a)

I de første åtte årene beskrives salget godt av den lineære funksjonen y = 210x + 393

b)

Allerede i 2008 underestimerer modellen betydelig. Etter hvert blir det verre da utviklingen synes eksponentiell. Modellen i a passer ikke til å si noen om fremtidig utvikling.