Trigonometriske identiteter

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Nedenfor følger en rekke trigonometriske identiteter. Noen er pensum i norsk skole (R2), andre ikke. Vi mener det er riktig å vise alle, da noen av dere kan komme til å studere i land der disse er pensum.

De trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans og cosecans. De tre første er de vanligste. Vanligvis forkortes disse sin, cos, tan, cot, sec og cosec. For spisse vinkler defineres de trigonometriske funksjonene som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Vi har:


sinB=ba

cosB=ca

tanB=bc=sinBcosB

cotB=cb=cosBsinB=1tanB

secB=ac=1cosB

cosecB=ab=1sinB

De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler. Vi tegner en sirkel med radius 1 der positive vinkler kan tenkes framkommet ved en dreining mot klokken og negative vinkler fremkommer ved dreining med klokken. dette kalles orienterte vinkler. I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer). Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger:



sin(a)=ycos(a)=xtan(a)=yxcot(a)=xysec(a)=1xcosec(a)=1y


Sin, cos, sec og csc har alle perioden 2pi. Tan og cot har perioden pi.


Enhetssirkelen og dens fire kvadranter

Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt.

Kvadrant I II III IV
cos pos neg neg pos
sin pos posneg neg
tan pos negpos neg
cot posneg pos neg
sec pos neg neg pos
cosec pos pos neg neg



Geometrisk tolkning av de trigonometriske funksjonene. Figuren nedenfor viser de forskjellige trigonometriske funksjonene inntegnet i enhetssirkelen.


Definisjoner:

Det finnes mange trigonometriske identiteter. Her er noen av dem.


sin2v+cos2v=1

Relasjonen fremkommer ved å anvende Pytagoras direkte i enhetssirkelen.


tan2v+1=sec2vcot2v+1=csc2v


Hver av de trigonometriske funksjonene uttrykt ved de andre fem.
Uttrykt ved sinv cosv tanv! cscv secv cotv
sinv= sinv ±1cos2v ±tanv1+tan2v 1cscv ±sec2v1secv ±11+cot2v
cosv= ±1sin2v cosv ±11+tan2v ±csc2v1cscv 1secv ±cotv1+cot2v
tanv= ±sinv1sin2v ±1cos2vcosv tanv ±1csc2v1 ±sec2v1 1cotv
cscv= 1sinv ±11cos2v ±1+tan2vtanv cscv ±secvsec2v1 ±1+cot2v
secv= ±11sin2v
1cosv ±1+tan2v ±cscvcsc2v1 secv ±1+cot2vcotv
cotv= ±1sin2vsinv ±cosv1cos2v 1tanv ±csc2v1 ±1sec2v1 cotv


cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)cos(u+v)=cos(u)cos(v)sin(u)sin(v)sin(uv)=sin(u)cos(v)cos(u)sin(v)sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)


sin(2u)=2sin(u)cos(u)


cos(2u)=cos2(u)sin2(u)


1+cos(2u)=2cos2(u)


1cos(2u)=2sin2(u)


Dersom u + v = 180° har vi at Sin v = sin u og cos v = -cos u