Andregradslikninger

En annengradslikning er en likning på formen <tex>ax^2 + bx^2 + c</tex>, der a, b og c er konstanter og <tex>a \neq 0</tex>. Konstantene til en annengradslikning kalles koeffisienter. Følgende er eksempler på annengradslikninger:

• <tex>x^2 + 1 = 0</tex>
• <tex>5x^2 - 4x + 2 = 0</tex>
• <tex>\pi x - ex + \sqrt 2 = 0</tex>
• <tex>x^2 + (3+i)x + (5-6i) </tex>

I siste eksempel er koeffisientene komplekse tall.

Løsningsmetoder

Fulllføring av kvadratet

Eksempel 1:

<tex>ax^2 + bx + c = 0 </tex>
<tex> x^2 + \frac bax + \frac ca = 0</tex>
<tex> x^2 + \frac bax = - \frac ca</tex>
<tex> x^2 + 2\frac {b}{2a}x = - \frac ca</tex>

<tex> x^2 + 2\frac {b}{2a}x + (\frac {b}{2a})^2 = - \frac ca + (\frac {b}{2a})^2 </tex>
<tex> (x +\frac {b}{2a})^2 = - \frac ca + \frac {b^2}{4a^2} </tex>
<tex> (x +\frac {b}{2a})^2 = - \frac {4ac}{4a a} + \frac {b^2}{4a^2} </tex>
<tex> x^2 + 2\frac {b}{2a}x + (\frac {b}{2a})^2 = - \frac ca + (\frac {b}{2a})^2 </tex>

abc-formelen

<tex> x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</tex>

25.1 Innledning

25.1 Andregradsligninger på formen ax2+bx+c=0

Vi forutsetter at du kan stoffet i ligninger , ligninger med to ukjente og funksjoner I og II.

Fra siden om potenser vet vi at x x = x2. Sagt med ord sier vi at "x multiplisert med seg selv er lik x i andre". Andregradsligninger inneholder alltid et ledd hvor x2 er en faktor. Vi ønsker alltid å få ligningen på formen:

ax2 kalles for andregradsleddet bx kalles for førstegradsleddet c kalles for konstantleddet Dersom noen av leddene er på høyre side av likhetstegnet flyttes de over på venstre side, med motsatt fortegn, slik at vi får ligningen på formen i (1). a, b og c er konstanter. Dersom a = 0 har vi en vanlig ligning som løses med metoden beskrevet i ligninger. Dersom b = 0 har vi følgende formel:

Dersom c = 0 har vi følgende formel:

Alle disse tre varianter av mulige andregradsligninger kan løses ved hjelp av formelen:

Tegnet leses "pluss eller minus".

Eksempel 1: Alle ledd tilstede Løs ligningen 3x2 + 2x - 1 = 0

Vi ser at ligningen er av typen beskrevet i (1), der a = 3, b = 2 og c = -1. Vi setter inn i formel (4) og får:

Tegnet leses "eller". Svaret i eksempelet blir at x = -1 eller x = 1/3.

Eksempel 2: Førstegradsledd mangler Løs ligningen x2- 9 = 0

Vi ser at ligningen er av type (2) Vi kunne brukt formel (4) her også, men det finnes en mye enklere måte. Vi flytter -9 over på høyre side, skifter fortegn, og tar kvadratroten på begge sider. Vi får:

I dette tilfellet var a = 1. Den generelle måten å løse denne typer ligninger på er:

Eksempel 3: Konstantledd mangler Løs ligningen x2 = 4x

Vi flytter 4x over på venstre side og gjenkjenner ligningen som (3). Også her kan vi bruke formel (4), men det er en enklere måte. Du må kunne faktorisere.

x2-4x = 0 Kan skrives slik på faktorisert form:

x(x-4) = 0 Vi ser at dersom utrykket på venstre side skal være lik null, må enten x = 0 eller x-4 = 0. Vi ser da at løsningen blir:

x = 0 eller x = 4 Den generelle løsningen kan skrives slik:

Alle tre eksemplene har gitt løsninger av ligningene. Det er mange ligninger som ikke har løsninger. La oss knytte eksemplene opp mot funksjoner og se litt nærmere på dem.

La oss tenke oss at vi har funksjonen:

f(x) = 3x2 + 2x - 1 Dersom vi setter f(x) = 0 får vi andregradsligningen i eksempel en. La oss se på grafen til f(x):

Man ser at løsningen på andregradsligningen i eksempel en stemmer over ens med punktene der grafen til f(x) krysser x- aksen, altså der f(x) = 0.

La oss se på funksjonen g(x) = x2+ 2

Grafen til g(x) ser slik ut:

Som du ser krysser aldri grafen til g(x) x-aksen. Dersom du prøver å løse ligningen g(x) = 0 vil du finne ut at du får et negativt tall under rottegnet. Ligningen har ingen løsninger.

Du lurer kanskje på hvor formel (4) kommer fra. Nedenfor følger en utledning fra andregradsligningen til formelen. Det sentrale punkt i utledningen er manipuleringen for å få første kvadratsetning.

Vi kjenner nå andregradsligninger på formen

ax2 + bx + c = 0

Vi vet at den lar seg løse (viss den har løsninger) ved å sett a, b og c inn i

Andregradsligninger på produktform

Man kan ha andregradsligninger på formen:

(x + 1)(x – 2) = 0

{ Du ser at dette er en andregradsligning om du multiplisere ut parentesene:

(x + 1)(x – 2) = x2 -2x +x – 2 = x2 – x – 2 }

Man kan multiplisere ut faktorene som vist over og bruke abc – formelen, men det finnes en mye enklere måte å løse ligningen på:

Dersom produktet av to faktorer skal bli null, må en av faktorene være null.

mn = 0 medfører at m eller n må være lik null, om utsagnet skal være riktig.

I eksemplet

(x + 1)(x – 2) = 0

betyr det at x+1 = 0 , eller at x – 2 = 0

Det gir løsningene x = -1 V x = 2

Problemet er redusert til løsninger av to enkle førstegradsligninger.

Faktorisering av andregradsuttrykk

ax2 + bx + c er et generelt andregradsuttrykk. Ofte har man behov for å faktorisere uttrykket for å kunne forkorte og forenkle.

Man har følgende formel for faktorisering av andregradsuttrykk:

ax2 + bx + c = a( x-x1)(x-x2)

Der x1 og x2 er løsninger av ax2 + bx + c = 0

Eksempel 4: Faktoriser 6x2 - 4x – 2

Løser først 6x2 - 4x – 2 = 0 og får (abc – formelen)

X1 = 1 eller x2 = - ⅓

Bruker så formelen over og får:

6x2 - 4x – 2 = a( x-x1)(x-x2) = 6(x – 1)( x + ⅓)

Dette er spesielt nyttig (helt nødvendig) når man skal forkorte brøker.

Eksempel 5: Skriv enklest mulig:

Løsning:

Man ser at forenklingen av uttrykket ville være vanskelig uten først å faktorisere andregradsuttrykket.

Sum og produkt av røtter

Man har følgende sammenhenger mellom sum og produkt av røtter (løsninger):

Dersom ax2 + bx + c =0

er

              og 

x1 og x2 er røtter (løsninger) i ligningen.

Dersom man anvender disse formlene og finner en ligning må man sjekke at den virkelig har løsninger.