S2 2014 høst LØSNING

oppgave på bokmål

fullstendig eksamensoppgave

Diskusjon av denne oppgaven (med delvis løsning)

Oppgave 1

a)

$f(x)=3 \ln(x+2)$

Deriverer ved å bruke kjerneregelen med $u=x+2 \Rightarrow u'=1$

$$f'(x)=3 \cdot \frac{1}{u} \cdot u' = 3 \cdot \frac{1}{x+2} \cdot 1 = \frac{3}{x+2} $$

b)

$g(x)=x \cdot \ln(3x)$

Deriverer ved å bruke produktregelen og kjerneregelen:

$$g'(x)=1 \cdot \ln(3x) + x \cdot \frac{1}{3x} \cdot 3 = \ln(3x) + 1$$

Oppgave 4

$f(x)=x^3-6x^2+9x , \quad D_f = \mathbb{R} $

a)

Nullpunktene til $f$:

$f(x)=0 \\ x^3-6x^2+9x=0 \\ x(x^2-6x+9)=0 \quad \text{faktoriserer ut} \; x\\ x(x-3)^2 = 0 \quad \text{faktoriserer vha. 2. kvadratsetning} \\ x=0 \vee x=3 $

b)

Topp-/bunnpunkter på grafen til $f$:

$f'(x)=3x^2-12x+9$

$f'(x)=0$

$3x^2-12x+9=0 \\ 3(x^2-4x+3)=0 \\ x^2-4x+3=0$

$x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 3}}{2} =\frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \\ x=3 \vee x=1 $

$3(x^2-4x+3)=3(x-3)(x-1) $

Lager fortegnslinje:

$f(1)=4 \\ f(3)=0 $

Grafen til $f$ har et toppunkt i $(1, 4)$ og et bunnpunkt i $(3, 0)$.

c)

Vendepunktet på grafen til $f$:

$f' '(x)= 6x -12 \\ f' '(x)=0 \\ 6x-12 =0 x=2 $

Lager fortegnslinje:

$f(2)=2$

Grafen til $f$ har et vendepunkt i $(2, 2)$.

d)

Oppgave 5

a)

I punktet $A$ er $x=400$.

To av de rette linjene går også gjennom punktet $A$.

Den ene er linja $y=4,46x$ (denne har størst stigningstall, og stiger raskest av de tre rette linjene).

Den andre er linja $y=2,06x+960$ (dette er linja som tangerer grafen til $y=K(x)$ i punktet $A$).

Vi kan dermed bruke en av disse linjene, til å regne ut funksjonsverdien til $K(x)$ for $x=400$.

Vi får da:

$$E(x) = \frac{K(x)}{x} \\ E(400) = \frac{K(400)}{400} = \frac{4,46 \cdot 400}{400} = 4,46$$

b)

Grensekostnaden er $K'(x)$

Den deriverte til $K(x)$ når $x=400$, er det samme som stigningstallet til tangenten til grafen når $x=400$.

Linja $y=2,06x+960$ tangerer grafen til $K(x)$ i punktet $A$, der $x=400$.

Vi ser at denne tangenten har stigningstallet $2,06$.

$K'(400)=2,06$

c)

Den minste verdien for enhetskostnaden finner vi der enhetskostnaden er lik grensekostnaden

$$K'(x)=E(x)$$

Nå skal vi se på punket $B$. Her er $x=1000$.

Den rette linja $y=3,43x$ tangerer grafen til $K(x)$ i punktet $B$.

Vi ser at tangenten har stigningstallet $3,43$ og derfor er $K'(1000)=3,43$.

Vi kan regne ut enhetskostnaden for $x=1000$ på samme måte som vi gjorde i oppg. a). Vi bruker den rette linja til å regne ut funksjonsverdien til $K(x)$ for $x=1000$.

$$ E(1000) = \frac{K(1000)}{1000} = \frac{3,43 \cdot 1000}{1000}= 3,43 $$

Vi har nå vist at $K'(x)=E(x)$ for $x=1000$.

Den minste enhetskostnaden har vi ved produksjon av 1000 enheter, og da er enhetskostnaden 3,43 kroner per enhet.