S2 2014 høst LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
oppgave på bokmål
fullstendig eksamensoppgave
Diskusjon av denne oppgaven (med delvis løsning)

Del 1

Oppgave 1

a)

f(x)=3ln(x+2)

Deriverer ved å bruke kjerneregelen med u=x+2u=1

f(x)=31uu=31x+21=3x+2

b)

g(x)=xln(3x)

Deriverer ved å bruke produktregelen og kjerneregelen:

g(x)=1ln(3x)+x13x3=ln(3x)+1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

f(x)=x36x2+9x,Df=R

a)

Nullpunktene til f:

f(x)=0x36x2+9x=0x(x26x+9)=0faktoriserer utxx(x3)2=0faktoriserer vha. 2. kvadratsetningx=0x=3

b)

Topp-/bunnpunkter på grafen til f:

f(x)=3x212x+9

f(x)=0

3x212x+9=03(x24x+3)=0x24x+3=0

x=(4)±(4)2432=4±16122=4±42=4±22x=3x=1

3(x24x+3)=3(x3)(x1)

Lager fortegnslinje:

f(1)=4f(3)=0

Grafen til f har et toppunkt i (1,4) og et bunnpunkt i (3,0).

c)

Vendepunktet på grafen til f:

f(x)=6x12f(x)=06x12=0x=2

Lager fortegnslinje:

f(2)=2

Grafen til f har et vendepunkt i (2,2).

d)

Oppgave 5

a)

I punktet A er x=400.

To av de rette linjene går også gjennom punktet A.

Den ene er linja y=4,46x (denne har størst stigningstall, og stiger raskest av de tre rette linjene).

Den andre er linja y=2,06x+960 (dette er linja som tangerer grafen til y=K(x) i punktet A).

Vi kan dermed bruke en av disse linjene, til å regne ut funksjonsverdien til K(x) for x=400.

Vi får da:

E(x)=K(x)xE(400)=K(400)400=4,46400400=4,46

b)

Grensekostnaden er K(x)

Den deriverte til K(x) når x=400, er det samme som stigningstallet til tangenten til grafen når x=400.

Linja y=2,06x+960 tangerer grafen til K(x) i punktet A, der x=400.

Vi ser at denne tangenten har stigningstallet 2,06.

K(400)=2,06

c)

Den minste verdien for enhetskostnaden finner vi der enhetskostnaden er lik grensekostnaden

K(x)=E(x)

Nå skal vi se på punket B. Her er x=1000.

Den rette linja y=3,43x tangerer grafen til K(x) i punktet B.

Vi ser at tangenten har stigningstallet 3,43 og derfor er K(1000)=3,43.

Vi kan regne ut enhetskostnaden for x=1000 på samme måte som vi gjorde i oppg. a). Vi bruker den rette linja til å regne ut funksjonsverdien til K(x) for x=1000.

E(1000)=K(1000)1000=3,4310001000=3,43

Vi har nå vist at K(x)=E(x) for x=1000.

Den minste enhetskostnaden har vi ved produksjon av 1000 enheter, og da er enhetskostnaden 3,43 kroner per enhet.

Oppgave 6

Oppgave 7

Del 2

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6