S1 2013 vår LØSNING

Oppgave 1

a)

$2lgx + 3 = 5 \\ 2lgx =2 \\ lg x=1 \\ 10^{lgx} 10^1 \\x=10$

b)

$2x^2+2x=12\\ 2x^2+2x-12=0 \\ x= \frac{-2\pm \sqrt{4+4 \cdot 2 \cdot 12}}{4} \\ x= \frac{-2 \pm 10}{4} \\ x= -3 \vee x= 2$

Oppgave 2

<math> \left[ \begin{align*} y=6 - x^2 \\ y +4= -3x \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} y=6 - x^2 \\ 6- x^2 +4= -3x \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} y=6 - x^2 \\ -x^2+3x +10=0 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} y=6 - x^2 \\ x= \frac{-3 \pm \sqrt{9+ 4 \cdot 1 \cdot 10}}{-2}\end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} y=6 - x^2 \\ x= \frac{-3 \pm 7}{-2}\end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} y=6 - x^2 \\ x= 5 \vee x = -2\end{align*}\right] </math>

Innsatt i første likning gir det løsningene:

$(-2, 2) \wedge (5, -19)$

Oppgave 3

a)

$ \frac{2^{-3} \cdot a^0 \cdot (a \cdot b)^2}{2^{-4} \cdot a^{-1} \cdot b^2}= \frac{2^4a^3b^2}{2^3b^2} = 2a^3$

b)

$lg(ab) ^2- lg ( \frac{a^3}{b^2}) + lg(ab^2)= \\ 2(lga +lgb) - ( lg a^3 - lg b^2 ) + lga + lg b^2 = \\ 2lga+ 2lgb -3lga + 2lgb +lga + 2lgb = \\ 6 lgb$

Oppgave 4

a)

Her er grafen tegnet i Geogebra. Dette er del en, så det kan ikke du gjøre. Gjør slik:

Finn vertikal asymptote, den x verdi som gjør nevner lik null. x - 3 = 0 gir løsning for x = 3. Tegn asymptoten inn i koordinatsystemet.

Finn horrisontal asymptote. Del alle ledd i teller og nevner med x. Da får du: $\frac{3- \frac 1x}{1 - \frac 3x}$ Når absoluttverdien av x blir stor, går verdien av uttrykket mot 3. Tegn den horrisontale asymptoten inn i koordinatsystemet.

Lag en verditabell der du velger seks x verdier, tre mindre enn x = 3, og tre større. For eksempel x lik -5, 0, 2 og 4, 6 og 8. Regn ut funksjonsverdien for disse og plott punktene i koordinatsystemet. Trekk glatte kurver. Skissen av funksjonen bør ligne på den over.

b)

Gjennomsnittlig veksthastighet fra x = 4 til x = 7: $\frac{f(7) - f(4)}{3} = \frac{5-11}{3} =-2$

Den gjennommsnittlige vekstfarten fra x= 4 til x =7 er - 2.

Oppgave 5

a)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

b)

Husk at det første tallet står på nullte rad.

$\binom 20 = 1$ (første tall på rad nr. tre, som jo egentlig er rad nr. to, siden første er nullte)

$ \binom31= 3 \\ \binom52= 10 \\ \binom83 = 56 $

Oppgave 6

a)

$\frac {2}{3}x^3+x^2-12x+1 \\ f ' (x) = 2x^2+2x-12$

b)

$f ' (x)= 0 \\ 2x^2 + 2x - 12 = 0 \\ x = -3 \vee x=2$

(samme som oppgave 1b)

f er strengt voksende: $x \in <\leftarrow] \cup [2, \rightarrow>$

f er strengt avtagende $x \in [-3, 2]$

Oppgave 7

Tog A; kjører med farten v i t timer. $ v = \frac st \Rightarrow vt =s \Rightarrow vt =120$

Tog B: kjører med en gjennomsnittsfart 20 km/ større enn tog A, altså (v + 20), det bruker da en time mindre enn tog A, altså (t-1). Avstanden er den samme: altså blir (v+20)( t - 1) = 120

<math> \left[ \begin{align*} vt = 120 \\ (v+20)(t-1) = 120 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} v = \frac{120}t \\ (\frac{120}t +20)(t-1) = 120 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} 120 - \frac{120}{t} +20t-20 = 120 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} t^2-t-6=0 \end{align*}\right] </math>

t = 3 timer

Det betyr at tog A holder en gjennomsnittsfart på 40 km/t og tog B 20km/t raskere, altså 60 km/t.

Oppgave 3

a)

b)

$f(x)= x^4-4x^2\\ f(0)=0$

Altså er skjæring med y-aksen lik null.

$f(x)= 0 \\ x^2(x^2-4) =0 \\ x=0 \vee x^2-4 =0 \\ x=0 \vee x= -2 \vee x=2 $

Nullpunkter: (-2,0), (0, 0) og (2, 0).

c)

$f ' (x)= 4x^3 -8x \\ f' (x)=0 \\ 4x^3 -8x=0 \\ 4x(x^2 -2) = 0 \\ x =0 \vee x = - \sqrt 2 \vee x = \sqrt 2$

Det finnes tre ekstremalpunkter:

$(0, f(0)) = (0,0) \\ (- \sqrt 2, f(-\sqrt 2 ) = (-\sqrt2, -4 )\\ (\sqrt 2, f(\sqrt 2 ) = (\sqrt2, -4 ) $

d)

g skal gå gjennom minimumspunktene til f.

$g(x)= ax^2 \\ -4 =a (\pm \sqrt 2)^2 \\ a= -2$

e)

Oppgave 4

a)

x = tonn Godlaks

y = tonn Gladlaks.

Man kan maksimum produsere 35 tonn per uke:

$x + y \leq 35$

Det minste man kan produsere av foret er ingenting:

$x \geq 0 \wedge y \geq 0$

Begrennsninger stoff A (i tonn): $0,3x + 0,6y \leq18$

Begrennsninger stoff B (i tonn): $0,7x + 0,4 y \leq 20$

( Området er avgrenset av aksene, det kommer ikk fram på figuren.)

b)

For at inntektene skal bli størst mulig må det produseres 3,33 tonn av Godlaks og 31,67 tonn av gladlaks, se rød nivålinje i oppgave a.

I(x,y) = 5000x + 8500y.

I (3,33 , 31,67) =