S1 2014 høst LØSNING

Oppgave 1

a)

$2x -10 = x(x-5) \\ -x^2+7x-10 =0 \\ x= \frac{-7 \pm \sqrt{49- 4 \cdot(-1) \cdot (-10)}}{-2} \\x= \frac{-7\pm 3}{-2} \\ x= 2 \vee x = 5$

b)

$lg(\frac x2) + 3 =5 \\ lg( \frac x2) = 2 \\10^{lg( \frac x2)} = 10^2 \\ \frac x2 = 100 \\ x= 200 $

Oppgave 2

$995 \cdot 995 = (1000 -5)^2 = 1000000-2\cdot 5 \cdot 1000 + 25 = 990025$

Oppgave 3

<math> \left[ \begin{align*}2x =y - 4 \\ 4x^2+3y=12 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*}y =2x + 4 \\ 4x^2+3(2x + 4) =12 \end{align*}\right] </math>

Løser x av ligning to og får:

$4x^2+6x+12 =12 \\ 4x^2+6x = 0 \\ x ( 4x+6) = 0 \\ x= 0 \vee x = - \frac 32$

Setter inn x verdier i ligning en og finner tilhørende y verdi:

$ x= 0 \Rightarrow y = 4 , \quad x= - \frac 32 \Rightarrow y = 1 \\ x = 0 \wedge y=4 \quad \vee \quad x= - \frac 32 \wedge y=1 $

Oppgave 4

$\lg(\frac{a^2}{b}) + \lg(a^2b^2)- \lg ( \frac ab) = 2\lg a - \lg b +2\lg a +2\lg b -\lg b + \lg a = 5\lg a$

Oppgave 5

a)

$f(x) = - \frac 23x^3 + x^2 +2 \quad D_f =\R \\ f´(x) = -2x^2+2x = 2x( -x + 1)$

b)

$f´(x) = 0 \\ 2x(-x+1)= 0 \\ x=0 \vee x =1$

f har ekstremalpunkter for x = 0, og for x = 1. For å finne ut hva som er maksimum og hva som er minimumspunkt kan vi tegne et fortegnsskjema.

$f(0) =2 \wedge f(1) = \frac 73$

Oppgave 6

a)

Dersom man kan bruke en bokstav flere ganger, et det trekkning med tilbakelegging: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64$

Det er mulig å lage 64 koder med fire bokstaver i tre posisjoner.

b)

Dersom en bokstav kun kan brukes en gang har vi trekkning uten tilbakelegging: $ 4 \cdot 3 \cdot 2= 24$

Det er mulig å lage 24 koder dersom en bokstav kun skal brukes en gang.

c)

Det er ofte mange måter å løse problemer på. Her er en: Vi skal lage en kode på tre bokstaver. Koden skal bestå av to eller tre like bokstaver.

Dersom koden består av bare like bokstaver er det kun fire muligheter, fordi vi bare har fire forskjellige bokstaver.

Dersom man har to like bokstaver kan disse arrangeres slik:

$AAx \\ AxA \\xAA$

Der x er bokstavnen B, C eller D.

Man har fire mulige dobble bokstaver, tre forskjellige posisjoner, og tre mulige valg av bokstaver etter de dobble er trukket. Det gir

$ 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 $ muligheter. Om man i tillegg tar med de fire mulighetene for tre like bokstaver, ser man at det er mulig å lage 40 forskjellige koder dersom hver av kodene skal inneholde minst to like bokstaver.

Dette fant vi ut ved å tenke, uten hjelp fra svaret i deloppgave a og b. Litt lettere blir det dersom man ser at det svaret man er ute etter i c, denne oppgaven, er svaret i a minus svaret i b.

Alle fire bokstaver kan brukes flere ganger - Hver bokstav kan bare brukes en gang = 64 - 24 = 40

Oppgave 7

a)

$E(x) = 4x +1200 + \frac{20000}{x}, \quad x > 0 \\E(200) = 4 \cdot 200 +1200 + \frac{20000}{200} \\ E(200) = 2100$

Dersom det produseres 200 enheter er enhetskostnaden kr. 2100,-

De samlede produksjonskostnadene blir:

$K(x)= 200 \cdot E(200) = 420.000$

Totale produksjonskostnader blir 420 000 kroner.

b)

Overskudd er inntekter minus kostnader.

$O(x) = I(x) - K(x) \\ O(c) = 2000x - ( 4x^2+1200x + 20000) \\ O(x) = -4x^2 + 800x -20000 $

c)

Vi deriverer oveskuddsfunksjonen og setter den deriverte lik null, og finner x. ( Vi ser at dette er en parabel med et maksimum, siden det er negativt fortegn forran andregradsleddet.)

$O´(x) = -8x + 800 \\ O´(x) = 0 \Rightarrow -8x + 800 = 0 \\ x = 100$

Produksjon av hundre enheter gir det største overskuddet.

Oppgave 8

$f(x) = x^3-x \\ f´(x)=3x^2-1$

Vi har fasiten så da er det bare å gå i gang. Definisjonen på den deriverte er:

$ f´(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $

Vi får da:

$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{((x + \Delta x)^3-(x+\Delta x)) - (x^3-x)}{\Delta x} \\ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+ \Delta x) (x+ \Delta x)(x+ \Delta x) - (x +\Delta x) -(x^3-x)}{\Delta x} \\ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x^2+2x(\Delta x) + ( \Delta x)^2)(x+ \Delta x) - (x + \Delta x) - (x^3 - x)}{\Delta x} \\ = \lim_{ \Delta x \to 0} \frac{x^3+ 2x^2 \Delta x + x (\Delta x)^2 +x^2 \Delta x +2x( \Delta x)^2 + ( \Delta x)^3 - x - \Delta x - x^3 + x }{\Delta x} \\ = \lim_{ \Delta x \to 0} \frac{ \Delta x ( 3x^2 + 3x( \Delta x) + (\Delta x)^2-1) }{\Delta x} \\ = \lim_{ \Delta x \to 0} 3x^2 + 3x( \Delta x) + (\Delta x)^2-1 \\ = 3x^2-1$

Hvilket skulle vises. (Delta x går jo mot null, så de to midterste leddene bortfaller.)

DEL TO

a)

Oppgave 3

a)

$P(X=3)= \binom{10}{3} 0,4^3 \cdot (0,6)^{7} = 0,215 = 21,5$ %

Det er 21,5% sannsynlig at bussen stopper ved tre holdeplasser, dvs. at den bruker 23 minutter på turen.

b)

Det er 63,3% sannsynlig at bussturen tar mindre enn 25 munutter.

c)

Her har man en hypergeometrisk situasjon.

Det er 53,8 % sannsynlig at minst en sniker blir tatt.

Oppgave 4

a)

$g(x)= 3,31 \cdot x^{0,33}$ er en potensfunksjon sm passer til tallene i tabellen.

b)

Fra figuren i a) ser man at det vil ta 28,14 timer, før tanken er full. Det tilsvare i overkant av 28 timer og 8 minutter. Vi kjenner ikke radius av kjeglens grunnflate og må derfor gå veien om vannmengde per time for å finne det totale volumet:

$V = 18 m^3 /time \cdot 28,14 timer = 506,52 m^3$

c)

Ny tank skal romme 1000 $m^3$ og ha samme form som den gamle tanken.

Radius i gammel tank:

$r = \sqrt{\frac{3V}{\pi \cdot h}} \approx 6,95 m$

Forholdet mellom høyde og radius i gammel tank er $\frac hr = 1,44$. Forholdet skal være det samme i ny tank, siden formen skal være den samme:

$V= \frac 13 \pi r^2 \cdot 1,44 r \Rightarrow r= \sqrt[3]{\frac{3V}{1,44 \pi}} = 8,72m$

Høyden i den nye tanken er $h = 1,44 r = 12,56 m$

Pumpen pumper 18 $m^3$ per time. Den bruker: $\frac{1000 m^3}{18 m^3/time} = 55,56 timer$, som tilsvarer ca. 55 timer og 34 minutter.

Oppgave 6

a)

$8x + 4y = 900 \\ y = 225 + 2x $

Volum av prisme:

$ V(x,y)= x^2y \\ V(x) = x^2(225-2x) \\ V(x)= -2x^3+225x^2$

Som skulle vises.

b)

$V ' (x) = -6x^2 + 450x \\ V'(x)=0 \\ -6x^2+450x=0 \\ x=0 \vee x= 75$

Størst volum får pakken når x= 75 centimeter. Da er $y= 225 - 2 \cdot 75 = 75 $ cm. Man ser at volumet av pakken blir størst når alle sidene i prismet er like lange.

Oppgave 7

a)

$x \geq 0 \wedge y \geq 0$  : Man kan ikke produsere mindre enn null kg av noen av typene.

$0,60x + 0,20y \leq 800$ , er begrensningen på mel.

$0,40x + 0,80 y \leq 1000$ , er begrennsningen på kjøttdeig.

b)