S1 2014 vår LØSNING
Løsningsforslag som pdf laget av mattepratbruker Christianac
Diskusjon av denne oppgaven på matteprat
Del 1
Oppgave 1
a)
\begin{align*} -x^2+3x-3&=3-2x\\ -x^2+5x-6&=0 \end{align*} Bruker ABC-formelen: \begin{equation} x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \notag \end{equation} ABC-formelen gir $\underline{\underline{x=2 \lor x=3}}$
b)
\begin{align*} \lg(x+2) &= 2 \lg x \\ \lg(x+2) &= \lg x^2\\ 10^{\lg (x+2)} &= 10^{\lg x^2} \\ x+2 &= x^2\\ -x^2 + x +2 &= 0 \end{align*} ABC-formelen gir $x=2 \lor x=-1$, men $x=-1$ er ingen gyldig løsning siden man kun kan ta logaritmen til positive tall. \underline{\underline{$x=2$}}\\
Oppgave 2
\begin{align*} &\quad\;2 \cdot \lg \Big ( \frac{a^2}{b^2} \Big ) + 3 \cdot \lg \Big ( \frac{b^2}{a} \Big ) + \lg \Big ( \frac{b}{a} \Big ) \\ &= 2( \lg a^2 - \lg b^2) + 3 ( \lg b^2 - \lg a ) + \lg b - \lg a \\ &= 4 \lg a - 4 \lg b + 6 \lg b - 3 \lg a + \lg b - \lg a \\ &= \underline{\underline{3 \lg b}}\\ \end{align*}
Oppgave 3
a)
\begin{align*} &\quad\; 2(a+b)^2 -2(a-b)^2 \\ &= 2(a^2 + 2ab + b^2) -2(a^2-2ab + b^2)\\ &=4ab + 4ab \\ &=\underline{\underline{8ab}} \end{align*}
b)
\begin{align*} &\quad\;\frac{a^{-4}\cdot b^2 \cdot a^3}{(a^2\cdot b)^{-3} \cdot a^0} \\\\ &=\frac{a^{-1}\cdot b^2}{a^{-6}\cdot b^{-3} \cdot 1}\\\\ &= a^{6-1} \cdot b^{2+3}\\ &=\underline{\underline{(ab)^5}} \end{align*}
Oppgave 4
\begin{equation} \notag f(x)=\frac{ax+b}{x-1} \quad , \quad D_f=\mathbb{R} \backslash \{ 1 \}\\ \end{equation}
a)
Får oppgitt at funksjonen skjærer y-aksen i $y=6 \implies x=0 \land y=6$ \begin{align*} f(x)&=\frac{ax+b}{x-1}\\ 6&=\frac{a\cdot 0+b}{0-1}\\ 6&=\frac{b}{-1}\\ b&=\underline{\underline{-6}} \end{align*}
Får videre oppgitt at funksjonen skjærer x-aksen i $x=3 \implies x=3 \land y=0$ \begin{align*} f(x)&=\frac{ax+b}{x-1}\\ 0&=\frac{3a+b}{3-1}\\ 0&=\frac{3x-6}{2}\\ 3&=\frac{3x}{2}\\ x&=\underline{\underline{2}} \end{align*}
c)
Oppgave 5
a)
Et tall inne i Pascals trekant er alltid summen av de to tallene som står ovenfor. Dette gir følgende likningssett: \begin{align*} x + y &= 28\\ y + 35 &= 8x \end{align*} Løser likningssettet ved å bruke innsettingsmetoden:\\ \begin{align*} y&= 28 - x \\ (28 - x) + 35 &= 8x\\ 63 &= 9x\\ x &= \underline{\underline{7}} \\\\ y &= 28 - 7 \\ y &= \underline{\underline{21}} \end{align*} \emph{b)} Observerer mønsteret:\\ \begin{align*} (a+b)^4 &= 1\cdot a^4 + 4\cdot a^3b + 6 \cdot a^2b^2 + 4 \cdot a b^3 + 1\cdot b^4 \\ (a+b)^5 &= \underline{\underline{1\cdot a^5 + 5 \cdot a^4b + 10 \cdot a^3b^2 + 10 \cdot a^2 b^3 + 5 \cdot a b^4 + 1 \cdot b^5 }} \end{align*}
c)
Skal fylle ut tabellen med sannsynligheten for $A$ inntreffer $k$ ganger. Sannsynligheten for at $A$ inntreffer i hvert delforsøk er $a$. Sannsynligheten for at vi får $a$ tre ganger på rad i tre delforsøk er dermed $a^3$. \\\\ På hvilke måter kan $A$ inntreffe i 2 av 3 delforsøk? Vi kan ha:
$(A,A,\bar{A}),(A,\bar{A},A)$ eller $(\bar{A}, A, A)$ med sannsynligheter $(aab),(aba)$ og $(baa)$. Summen av disse sannsynlighetene blir da: $a^2b + a^2b + a^2b = \underline{3a^2b}$. På denne måten kan vi fylle ut det resterende av tabellen.\\ \begin{center} \begin{tabular}{ | l | c | c | c | r |}
\hline k & 3 & 2 & 1 & 0 \\ \hline P(X=k) & $a^3$ & $3a^2b$ & $3ab^2$ & $b^3$ \\ \hline
\end{tabular} \end{center}
Oppgave 6
a)
\begin{align*} O(x)&=I(x)-K(x)\\ O(x)&=p\cdot x -(0.1x^2 -10x + 20000)\\ O(x)&=-0.1x^2+10x + px - 20000\\ O(x)&=\underline{\underline{-0.1x^2+x(10+p)-20000}} \end{align*}
b)
\begin{align*} O(x)&=-0.1x^2+150x-20000 \end{align*}
Har et uttrykk på formen $ax^2+bx+c$. Hvis $a<0$ kan vi være sikre på at grafen til funksjonen har et toppunkt og ikke et bunnpunkt. Dermed kan vi trygt derivere og sette den deriverte lik null. Vi vil da finne produksjonsmengden som gir størst overskudd.
\begin{align*} O'(x)&=-0.2x+150\\ 0&=-0.2x+150\\ 0.2x&=150\\ x&=\underline{\underline{750}} \end{align*}
Med $p=140$ vil det gi størst overskudd å produsere $750$ enheter.\\\\ \emph{c)}\\
Det er oppgitt at overskuddet er størst når bedriften produserer og selger 2000 enheter. Vi kan dermed anta at $O'(x)=0 \land x=2000$. \begin{align*} O'(x)&= -0.2x+(10+p)\\ 0 &= -0.2 \cdot 2000 + 10 + p \\ 0 &= -400 + 10 + p \\ p &= \underline{\underline{390}} \end{align*}
Oppgave 7
Har at definisjonen av den deriverte er: \begin{equation} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h} \notag \end{equation} Vi har allerede fått oppgitt at $f(x)=x^2+2x$ så det eneste vi trenger å finne er $f(x+h)$. \begin{align*} f(x+h)&=(x+h)^2 + 2(x+h) \\ f(x+h)&=x^2 + 2xh + h^2 +2x +2h \end{align*} Setter så inn i definisjonen til den deriverte: \begin{align*} f'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h} \\ f'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 +2x +2h -(x^2 +2x)}{h}\\ f'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 +2h}{h}\\ f'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h}(2x + h +2)}{\cancel{h}}\\ f'(x)&=\lim_{h \to 0} 2x+2 +h\\ f'(x)&=\underline{\underline{2x+2}} \end{align*}