1T 2012 januar LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Løsningsforslag laget av Nebu (pdf)

Diskusjon av denne oppgaven


DEL EN

Oppgave 1:

a)

x225x2+10x+25=(x+5)(x5)(x+5)(x+5)=x5x+5

b)

32x1=132x1=302x1=0x=12

c)

a14a(a34)3a2=a14a12a94a2=a14+2494+84=a12=a

d)

Areal av trekant er: A=342=6

Høyden på Figur er h: A=gh2h=2Ag=265=2,4

e)

1) f(x)0x∈<←,1][3,→>


2) fx)>g(x)x∈<←,0><5,→>

f)

tanc=motståendekatethosliggendekatet2=3ACAC=32

g)

1) P(ikkegrønn)=5645=23


2) P(enblåogenrød)=3625+2635=1230=25

h)

f(x)=x2+1f´(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx=limΔx0(x+Δx)2+1(x2+1)Δx=limΔx0x2+2xΔx+(Δx)2+1x21Δx=limΔx02xΔx+(Δx)2Δx=limΔx02x+Δx=2x

Oppgave 2

a)

f(x)=x2+2x2b24ac=442=4

Siden tallet under rottegnet i abc formelen er negativt har likningen f(x) = 0 ingen løsning og f(x) har ingen nullpunkter.

b)

f´(x)=2x+2f´(x)=02x+2=0x=1f(1)=1

Funksjonen har et maksimumspunkt i (1,-1). (Andregradsfunksjoner med negativ faktor forran andregradsleddet har alltid et maksimum).

(dette er del en så du må lage en verditabell og tegne grafen for hånd)

c)

f´(2)=2y=ax+b2=22+bb=2y=2x+2

Finnen først stigningstallet i punktet, ved hjelp av den deriverte. Setter så stigningstallet og verdiene for x og y inn i likningen for den rette linje, for å finne b. Likningen til tangenten i punktet (2, -2) er altså y = -2x + 2.

Oppgave 3

a)

Tilnærmet : F = 2C +30

Nøyaktig: 5F = 9C + 160

100 C til Fahrenheit:

Tilnærmet: F= 230

Nøyaktig: 5F = 900 +160, dvs. F= 212

Forskjellen er på 18 Fahrenheit, der den tilnærmede modellen gir for høy verdi.

b)

F= 2C + 30

5F = 9C + 160


10C + 150 = 9C + 160

C=10 og F=50

Den forenklede modellen er mest nøyaktig i området rundt 10 grader Celsius eller 50 Fahrenheit. Akkurat på 40/50 er den forenklede modellen helt nøyaktig.

DEL TO

Oppgave 4

a)

Dersom trekanten er rettvinklet må Pytagoras gjelde og den lengste siden må være hypotenus.

(6,0cm)2=36,0cm2(4,0cm)2+(5,0cm)2=16,0cm2+25,0cm2=41,0cm2

Hvilket viser at trekanten ikke er rettvinklet.

b)

Når man kjenner alle sidene i en trekant bruker man cosinussettningen til å finne en vinkel, deretter kan man bryke arealsettningen til å finne arealet av trekanten.

a2=b2+c22abcosCcosC=a2b2c22ab

c)

Oppgave 5

a)

Sylinder der d + h = 6, d = 2r, og V=πr2h. Vi får:

V=πr2h,setterr=xV=πx2(6d)v=πx2(62x)V=6πx22πx3,x∈<0,3>

b)

V´(x)=12πx6πx2V´(x)=012πx6πx2=0x=0x=2

x=2 gir maksimum volum (x = 0 gir ikke noe volum i det hele tatt)

V(2)=π22(622)V(2)=8π

Oppgave 6

a)

1) 6000 liter var i tanken til å begyne med.

2) Vekstfaktoren er 0,864. Det betyr at det minker med:1,000 - 0,864 = 0,136 = 13,6% per time.

b)

c)

Det tar ca. 4,7 time før halvparten har lekket ut.

d)

Etter to timer tømmes tanken med en fart på 656 liter per time. Vi observerer at denne farten reduseres med tiden, tangenten til grafen blir mindre bratt ettersom tiden går.

Oppgave 7

Oppgave 8

a)

P(Sørtrøndelag)= 3000005000000=350=6,0 %

b)

Dette er egentlig en hypergeometrisk situasjon, men fordi vi tar en liten stikkprøve fra et stort utvag er det mulig å tenke at sannsynligheten er den samme i alle delforsøk (nesten). Man kan derfor regne binomisk.

c)

Det er ca 54 % sannsynlig at ingen av de 10 er fra Sørtrøndelag.

d)

Oppgave 9

a)

f(x)=a(xb)2+cf(x)=ax22abx+ab2+c

Ett nullpunkt får man når det er null under rottegnet i abc formelen.

(2ab)24a(ab2+c)=04a2b24a2b24ac=04ac=0c=0

b)

f´(x)=2ax2abf´(3)=02a32ab=06a=2abb=3