R1 2011 høst LØSNING

DEL EN

a

1)
<math>f(t)= 0,02t^3 + 0,6t^2 + 4,1 \\ f'(t)= 0,06t^2 + 1,2t </math>

2)
<math>g(x)= \sqrt{x^2-1} \\g'(x)= \frac {1}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot 2x = \frac {x}{\sqrt{x^2-1}}</math>
3)
<math>h(x) = x^2 \cdot e^{2x} \\h'(x) = 2x \cdot e^{2x} + x^2 \cdot 2 \cdot e^{2x} = 2xe^{2x}(1+x)</math>

b

1)

$P(2) =2^3-4 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 16 = 8-16-8+16=0 $

Siden P(2) = 0 er x=2 et nullpunkt.

2)

$ \quad( x^3-4x^2-4x+16):(x-2) = x^2 -2x -8 \\ -( x^3-2x^2) \\ \quad \quad -2X^2-4x \\ \quad -(-2x^2+4x) \\ \quad \quad \quad -8x+16 \\ \quad \quad \quad -(-8x+16) $

$x^2-2x-8 =0 \\ x = \frac{2 \pm \sqrt{4+32}}{2} \\ X= -2 \vee x = 4$

$ x^3-4x^2-4x+16 = (x-2)(x+2)(x-4)$

3)

$P(x) \le 0$

$x \in < \leftarrow, -2] \cup [2, 4]$

c

$ y = a - b^x \\ b^x = a-y \\ x = \frac{lg(a-y)}{lg b}$

y må være mindre enn a fordi man ikke kan ta logaritmen til et negativt tall.

d

1)

$\vec {AB} = [3-1,4-0] = [2,4] \\ \vec{AC} = [2-1, t-0] = [1,t]$

2)

$ \vec{AB} \perp \vec{AC} \\ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \\ [2, 4] \cdot [ 1, t] =0 \\ 2 + 4t =0 \\ t = - \frac 12$

e)

1)

f minker i områdene minus uendelig til -1 og fra 3 til uendelig

f vokser fra -1 til 3.

2)

f har to ekstremalpunkt, et minimumspunkt for x = -1 og et maksimumspunkt for x = 3. Grafen har et vendepunkt for x=1. For verdier mindre enn 1 vender grafen sin hule side opp, og for verdier større enn 1 vender den sin hule side ned.

3)

f)

$f(x)= x^2+1 \\ f ´(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x+ \Delta x)- f(x)}{\Delta x} \\ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {((x+ \Delta x)^2 +1)- (x^2+1)}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2 + 1 - x^2-1}{\Delta x}\\ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta x(2x+ \Delta x)}{\Delta x} \\ =\lim_{\Delta x \to 0} 2x +\Delta x = 2x$

g)

1)

Vinkel ADB er en pereferivinkel og skjærer over samme bue som AOB. Vinkel ADB er defor $30^{\circ}$.

2)

Vinkel DBE er en pereferivinkel som spenner over samme bue som DOE. Vinkel DBE er derfor $10^{\circ}$ .

3)

Vinkelsummen i en trekant er 180 grader. I trekanten BCD er vinkel DBC 10 grader. Vinkel BDC er 180 - 30 = 150 grader. Vinkel ACB må da vare lik 20 grader.

DEL TO

a)

$f(x)= x^3-4x^2+4x \quad x \in <-1, 3> \\ f(x)=0 \\ x^3-4x^2+4x=0 \\ x(x^2-4x+4)=0 \\ x=0 \vee x^2-4x+4 =0 \\ x=0 \vee x= \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2- 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2} = 2$

Summen under rottegnet i andregradsformelen er null. Det gir sammenfallende løsning for x = 2, hvilket betyr at grafen til f tangerer x-aksen i punktet (2,0)

b)

$f ' (x) = 3x^2-8x+4 \\ f ' (x) = 0 \\ x = \frac {8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6} \\ x= \frac {8 \pm 4}{6} \\ x = \frac 23 \vee x= 2 \\ f ' (x) = 3(x- \frac 32) (x-2) $

Grafen har et maksimumspunkt for $x=\frac23$ og et minimumspunkt for x = 2.

Maksimumspunkt: $( \frac 23, f( \frac 23)) $ dvs $( \frac 23, \frac{32}{27})$

Minimumspunkt: $( 2, f(2))$ dvs. $ (2,0)$

c)

$f ' ' (x) = 6x - 8 \\ f ' ' (x)= 0 \\ 6x-8 =0 \\ x= \frac 43$

Grafen til f vender sin hule side ned for x- verdier mindre enn $\frac 43$ og sin hule side opp for x- verdier støre enn $\frac 43$.

Vende punkt i $ ( \frac 43, f( \frac 43))$ som er $ ( \frac 43, \frac {16}{27})$.

d)

$ f(1) = 1 \\ f ' (1) = -1 \\ y = ax + b \\ 1= - 1 + b \\ b = 2 \\ y = -x + 2$

e)

f)

f(x) = -x+2

Med digitale hjelpemiddler ser man at denne likningen har løsning for x = 1 eller x = 2. f(2) = 0, dvs. Q har koordinatene (2,0)

a)

	Jenter	Gutter	Totalt
Bukse	60	80	140
Ikke Bukse	60	0	60
Total	120	80	200

$P( bukse) = \frac{140}{200} = 0,70 = 70$ %

b)

$P bukse | jente) = \frac{60}{120} = 0,50 = 50$ %

$P(bukse | jente ) \neq P(bukse)$. Det betyr at hendelsene er avhengige.

c)

Det står i oppgaven at man skal bruke Bayes formel, men når tallene er organisert i en krysstabell kan det være lettere å plukke sannsynligheten direkt fra tabellen. Vi skal finne sannsynligheten for jente gitt at personen går i bukser.

$P(jente|bukser) = \frac {60}{140} = 0,429 = 42,9$ %

Dersom man bruker Bayes formel får man

a)

Faktorene som går opp i 28 er 1, 2, 4, 7 og 14. Summen er 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Derfor er 28 det man kaller et perfekt tall.

b)

Faktorene som går opp i 284 er 1, 2, 4, 71 og 142. Summen av disse er 220. Man legger merke til at summen av faktorene i 220 er 284 og summen av faktorene i 284 er 220.