R1 2012 høst LØSNING
Del 1
Oppgave 1
a)
Da er
Alternativt kan vi benytte kjerneregelen med
b)
Vi bruker kjerneregelen med
c)
Her har vi et produkt av flere faktorer som avhenger av
Oppgave 2
a)
En polynomdivisjon
b)
Svaret på polynomdivisjon =
Dette gir oss førstegradsfaktorer i (x-1)(x+1)(x-3)
Oppgave 3
a)
Vendepunkt har vi der den dobbeltderiverte er 0 og skifter fortegn. Vi har her
Den dobbeltderiverte er null for x = 1. Vendepunkt: (1, f(1)) = (1, 0)
b)
Likning for vendetangent: f ' (1) = - 4
y = ax + b
Har punktet (1, 0) og setter inn:
Dvs: y = -4x + 4
Oppgave 4
a)
x = 1 er en løsning av likningen. Elven mister en løsning ved ikke å sjekke faktoren (x-1) lik null.
b)
For å finne skjæringspunktet må man sette
Nullpunktene er;
For å finne skjæringspunktene setter man
Skjæringspunktene ligger i punktene
Oppgave 5
a)
Siden skalarproduktet mellom vektorene er null, står de vinkelrett på hverandre.
b)
Oppgave 6
a)
b)
Oppgave 7
a)
Vinkel er 90 grader kun når skalarproduktet mellom vinkelbeina er null, bare da.
Dvs:
b)
Avstanden fra punktet A (3,0) til vektoren BC = [-7,1] :
Korteste vei fra A til BC er til et punkt D på BC som er slik at AD er normalt på BC.
Avstanden fra A til BC er fem halve kvadratroten av to.
DEL 2
Oppgave 1
a)
Skalarprodukt:
b)
Dersom firkanten er et parallellogram er BC vektor lik AD vektor.
Innspeksjon viser oss at t = -2 gjør firkanten ABCD til et parallellogram.
c)
Når t = 2 står AC vinkelrett på BD.
Oppgave 2
a)
Gutter | Jenter | Totalt | |
---|---|---|---|
Buss | 71 | 94 | 165 |
Ikke Buss | 111 | 74 | 185 |
Total | 182 | 168 | 350 |
Sannsynlighet for jente og buss:
b)
Sannsynlighet for buss:
Sannsynlighet for buss når man vet at eleven er jente:
c)
Her kunne man også brukt Bayes' formel, men siden alle tall er oppstilt i krysstabellen er regning ikke nødvendig.
Oppgave 3
a)
b)
Skjæring med y- akse inntreffer når x(t) = 0.
t = 0 er en ugyldig verdi og vi har bare ett skjæringspunkt:
Skjæring med x- aksen inntreffer når y(t) = 0:
c)
Banefarten etter t sekunder er gitt ved:
Etter 5 sekunder er banefarten 0,978
Oppgave 4
a)
Trekantene er formlike. Vinkel C er felles i begge trekantene. DE er parallell med AB, derfor er vinkel CDE lik vinkel CAB og vinkel CED lik vinkel CBA.
b)
Areal av trekanten DEF:
c)
T har sin største verdi når x = 3. Vi ser at dette er et toppunkt siden faktoren i andregradsleddet er negativ.
Det største arealet er 6.
Alle fire trekantene er likebeinte og har en side med lengde 3 og høyde 4. Derfor er trekantene kongruente.
Oppgave 5
a)
Radius i sirkelen er 3. Sentrum er (1, -2).
b)
Dersom sirkelpereferien har kun ett punkt felles med x - aksen betyr det at den tangerer, altså at y kooedinaten er lik radiusen.
For at sirkelen skal tangere xáksen må t være lik -3 eller 3.
Oppgave 6
a)
Her må du vite hva en pereferivinkel og en sentralvinkel er. v er 90 grader. Da er BAC 45 grader. ACD er 60 grader, ADC er 90, da må CAD være 30. BAD blir da 45 + 30 grader, altså 75 grader.