R2 2013 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Oppgave 1.

a) <math> \displaystyle f'(x) = - 3 \cos x </math>

b) <math> \displaystyle g'(x) = 6\pi \cos(\pi x) </math>

c) <math> \displaystyle h'(x) = \left[ 2 \sin(3x) + 3 \right] \cos(3x) e^{2x} </math>

Oppgave 2.

a) La $u = 2x$ da er $\mathrm{d}u = 2x \mathrm{d}x$ slik at

$ \displaystyle \int \frac{2x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x = \int \frac{\mathrm{d}u}{u} = \ln|u| +\mathcal{C} = \ln \left| x^2 - 4 \right| +\mathcal{C}$

b) Legg merke til at

$\displaystyle \frac{2x}{x^2-4} = \frac{x + x}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2) + (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-2} $

slik at vi kan skrive integralet som

$ \displaystyle \int \frac{2x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-2} \, \mathrm{d}x = \ln\left| x + 2 \right| + \ln\left| x - 2\right| + \mathcal{C} = \ln \left| x^2 - 4 \right| +\mathcal{C} $

som ønsket.

Oppgave 3.

a)

$\vec{AB} = (2,2,0)$ og $\vec{AC} = (-1,1,0)$ slik at $\vec{AB} \times \vec{AC} = (-1,-1,4)$.

Arealet blir da følgelig

$\displaystyle A = \frac{1}{2}\left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| = \frac{1}{2}\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \frac{3}{2}\sqrt{2}$

a)

$AB \cdot AC = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 0 = 0 $

Arealet blir da følgelig

$\displaystyle A = \frac{1}{2}\left| \vec{AB} \right| \times \left| \vec{AC} \right| = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = \frac{3}{2}\sqrt{2}$

som før.

Oppgave 4.

$ \displaystyle \begin{align} y' & = 6x y \frac{1}{y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} & = 6 x \\ \int \frac{\mathrm{d}y}{y} & = \int 6x \mathrm{d}x \\ \ln |y| = 3 x^2 + \mathcal{C}_1 y & = \mathcal{C}e^{3x^2} \end{align} $ Grensebetingelense gir at $C$ = 2.

Oppgave 5.

a)

Legg merke til at $a_n = 2n - 1$ slik at $a_{16} = 31$. Videre så er $S_n = n^2$, så $S_{16} = 16^2 = 256$.

(Burde jeg huske slike ting i hodet?)

b)

Se oppgave a) $d = 2$ og $a_1 = 1$.

c)

$S_n > 400 $ som er det samme som $n^2 > 400$ slik at $n>20$.

Oppgave 6.

Ikke gjort

Oppgave 7.

La $V(n) = a + ak+ \ldots + a k^{n-1}$ og $\displaystyle H(n) = a \cdot \frac{k^n-1}{k-1}$.

$V(1) = a \cdot k^{1-1} = a$ og $\displaystyle H(1) = a \cdot \frac{k^1-1}{k-1} = a$.

Formelen stemmer altså for $n=1$. Anta at formelen holder for $n = m$. Ønsker da å vise at dette medfører at $V(m+1)=H(m+1)$. Utregning av $V(m+1) gir$

$ \displaystyle \begin{align*} V(m+1) & = \left( a + ak + ak^2 + \ldots + a k^{m-1} \right) + a k^{m} \\ & = a \cdot \frac{k^{m}}{k-1} + a k^{m} & = a \cdot frac{k^{m} + k \cdot k^{m} - k^{m}}{k-1} & = a \cdot \frac{k^{m+1}-1}{k-1} \end{align*} $ Regner vi ut $H(m+1)$ ser vi raskt at $\displaystyle H(m+1) = a \cdot \frac{k^{m+1}-1}{k-1} $. og resten følger ved induksjon.