Integrerende faktor

En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <tex>f^,+A(x)f=B(x)</tex> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>.

Generell utledning

Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon <tex>g=g(x)</tex>: (Her betyr <tex>A=A(x)</tex>, <tex>B=B(x)</tex> etc.)

<tex>f^,+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf^,+Agf=gB</tex>

Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon <tex>g</tex> slik at <tex>Ag=g^,</tex>, ser vi at ligningen blir:

Da gjenkjenner vi venstresida som <tex>(gf)^,</tex> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen <tex>g</tex> finner vi enkelt ved å løse ligningen

Dette er en separabel ligning med løsning <tex>g=e^{\int A\,dx}</tex>. Vi har altså funnet integrerende faktor.

Eksempler

Eksempel

La oss se på førsteordensligningen <tex>f^,+f=0</tex>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <tex>e^x</tex> får vi <tex>e^xf^,+e^xf=0</tex>. Ligningen kan nå omskrives til <tex>(e^xf)^,=0</tex> eller ekvivalent <tex>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </tex>. Da ser vi at <tex>e^xf</tex> må være konstant, i.e. <tex>e^xf=c</tex>. Ganger vi med <tex>e^{-x}</tex> får vi at løsningen er <tex>f(x)=ce^{-x}. </tex>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.