Del 1

Oppgave 1

a)

Nullpunkt ved regning:

Ved inspeksjon ser man at dette stemmer med grafen.

b)

c)

d)

e)

f)

Faktoriserer uttrykket ved hjelp av konjugatsetningen og regelen for faktorisering av fullstendig kvadrat, forkorter deretter uttrykket ved å stryke samme faktorer i teller og nevner:

<tex>\frac {x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac {(x+3)\cdot (x-3)}{(x+3)(x+3)}=\frac {\cancel{(x+3)}\cdot (x-3)}{\cancel{(x+3)}(x+3)} =\frac {x-3}{x+3}</tex>

g)

<tex> \log(2x +4) = 3 \log 2 \Leftrightarrow \log (2x+4)= \log(2^3) \Leftrightarrow 2x+4=2^3 \Leftrightarrow 2x+4=8 \Leftrightarrow 2x=8-4 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x= \frac 42 \Leftrightarrow x=2 </tex>

h)

1)

Sannsynligheten for at pilen peker enten på blått eller grønt felt når hjulet stopper er:

<tex> P=P(B)+P(Gr)=\frac 38 + \frac 28 = \frac 58=0,625 =62,5 \percent </tex>

2)

Sannsynligheten for at pilen peker en gang på gult felt og en gang på grønt felt når hjulet snurres to ganger, er:

<tex>P=P(Gul)\cdot P(Gr))=\frac 18 \cdot \frac 28= \frac {2\cdot 1}{8\cdot 8}=\frac 2{64}=\frac 1{32}=0,03125=3,125 \percent</tex>

i)

Oppgave 2

a)

b)

Del 2

Oppgave 3

a)

Siden trekant <tex>ACD</tex> er rettvinklet er det greit å finne lengden <tex>AC</tex> ved hjelp av Pytagoras setning:

<tex> AC^2=AD^2+CD^2 \Leftrightarrow AC=\sqrt{AD^2+CD^2} =\sqrt{(3,0 m)^2 + (5,0 m)^2}=\sqrt{9,0 m^2 + 25 m^2}=\sqrt{34 m^2} \approx 5,8 m</tex>

b)

Når trekant <tex>BCD</tex> er likebeint (to av sidene er like lange), vet vi at også to av vinklene må være like lange. Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader, så siden vinkel <tex>C</tex> er kjent kan vi regne ut de andre to:

<tex> \angle B=\angle D = \frac {180 ^\circ - \angle C}2 =\frac {180 ^\circ - 120 ^\circ }2= \frac {60 ^\circ}2= 30 ^\circ </tex>

Når vi kjenner størrelsen på denne vinkelen, kan vi finne <tex>BD</tex> ved hjelp av sinussetningen:

<tex>\frac {BD}{\sin \angle C}=\frac {CD}{\sin \angle B} \Leftrightarrow BD=\frac {CD \cdot \sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{5.0 \text{m} \cdot \sin (120 ^\circ)}{\sin (30 ^\circ)}=\frac {5.0 \text{m} \cdot \frac {\sqrt 3}2}{\frac 12}=5\sqrt 3 \text{m} \approx 8.66 \text{m} \approx 8.7 \text{m}</tex>

c)

1)

2)

Oppgave 4

a)

Bruker fartsformelen <tex>s=vt</tex>, der <tex>s</tex> er strekningen Arne har syklet, <tex>v</tex> er farten han sykler med, og <tex>t</tex> er tiden han har brukt:

<tex>s=s_1+s_2=v_1 \cdot t_1 + v_2 \cdot t_2 = 12 \text{km/t} \cdot \frac {30 \text{min}}{60 \text{min}} + 18 \text{km/t} \cdot \frac {15 \text{min}}{60 \text{min}}=12 \text{km/t} \cdot \frac 12 \text{t}+ 18 \text{km/t} \cdot \frac 14 \text{t} =6 km + 4,5 km = 10,5 km\approx 11 km</tex>

b)

c)

Funksjonsuttrykket for de første 30 minuttene er:

<tex>y=\frac {12}{60}x= \frac 15 x=0,20x</tex> gjelder når <tex>x \in \left[0,30\right] </tex> (sagt med ord: når <tex>x</tex> er fra og med 0 til og med 30).

Funksjonsuttrykket for de neste 30 minuttene er:

<tex>y=\frac {18}{60}x= \frac 3{10} x=0,30x</tex> gjelder når <tex>x \in \left\langle30,60\right] </tex>(sagt med ord: når <tex>x</tex> er fra 30 til og med 60).

Oppgave 5

a)

Lager krysstabell, setter inn verdiene fra oppgaven og regner ut de andre slik at tabellen blir fullstendig:

	Briller B	Ikke briller <tex>\bar{B}</tex>	Sum
Kontaktlinser L	<tex>9,7 \percent</tex>	<tex>7,2 \percent</tex>	<tex>9,7 \percent +7,2 \percent=16,9 \percent</tex>
Ikke kontaktlinser <tex>\bar{L}</tex>	<tex>14,3 \percent</tex>	<tex>100 \percent - (14,3 \percent +7,2 \percent+ 9,7 \percent)=68,8 \percent</tex>	<tex>100 \percent -16,9 \percent =83,1 \percent</tex>
Sum	<tex>24,0 \percent</tex>	<tex>100\percent -24,0 \percent =76,0 \percent</tex>	<tex>100 \percent</tex>

b)

Som vi regnet ut i tabellen i a) er sannsynligheten for at en person ikke bruker briller <tex>76,0 \percent</tex>.

c)

Sannsynligheten for at en person som bruker briller også bruker kontaktlinser er:

<tex>\frac{9,7\percent \cdot 100}{24 \percent}=40,4 \percent</tex>

Oppgave 6

a)

b)

Grafen har nullpunkt når <tex>f(x)=0,5x^2-2x=0</tex>. Løser likningen <tex>0,5x^2-2x=0</tex> for å finne nullpunktene:

<tex>0,5x^2-2x=0 \Leftrightarrow x(0,5x-2)=0. \ \text{Produktsetningen gir da at x=0 eller 0,5x-2=0. Det vil si at } x=0 \ eller \ 0,5x-2=0 \Leftrightarrow 0,5x=2 \Leftrightarrow x=4</tex>.

Altså er <tex>f(x)=0</tex> når <tex>x=0</tex> og <tex>x=4</tex>. Dette kan kontrolleres ved å finne verdien av f(x) når x=0, og når x=4 ved å sette inn henholdsvis 0 og 4 for x i likningen:

Det stemmer, altså er nullpunktene til funksjonen(på formen <tex>(f(x),x)</tex>): (0,0) og (4,0).

c)

d)

Oppgave 7

Alternativ I

a)

<tex>\left[{ 2y-x^2+2x=a \\ y-2x=3 }\right]</tex>

1)

Når a=6, er likningssettet: <tex>\left[{ 2y-x^2+2x=6 \\ y-2x=3 }\right]</tex>. Dette kan f.eks løses ved å

<tex>\left[{ 2y-x^2+2x=6 \\ y-2x=3 |\cdot -2}\right] \Leftrightarrow \left[{ (2y-x^2+2x=6) \\ \\+ \\ \\ (-2y+4x=-6)}\right] \Leftrightarrow 2y-2y-x^2+2x+4x=6-6 \Leftrightarrow -x^2+6x=0 x(6-x)=0 \Leftrightarrow x=0 \ eller \ x=6</tex>

Hvis x=0, er <tex>y=2x+3=2\cdot 0+3=3</tex> eller hvis x=6, er <tex>y=2x+3=2\cdot 6+3=15</tex>.

2)

b)

Setter inn x=1 og y=5 i den øverste likningen i likningssettet og løser for a:

<tex>a=2y-x^2+2x=2\cdot 5-1^2+2\cdot 1=10-1+2=11</tex>. Altså må a være lik 11 for at x=1 og y=5 skal være en løsning til likningen.

1T 2010 vår LØSNING