Gruppeteori

Gruppeteori er en gren av Algebra og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.

Definisjon

La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:

1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=

2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)

3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)

4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)

5. <tex>a*b=b*a</tex>

En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi ganske enkelt skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.

For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene

1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex>

2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex>

3. <tex>a^0 = e</tex>

Eksempler

Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?

Elementære resultater

Forkortningslov

Anta at <tex>a*b=a*c</tex>. Da er <tex>b=c</tex>

Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>

Identitetselementet er unikt

Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .

Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.

Inverser er unike

Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.

Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.

Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte

For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.

Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.

Undergrupper

La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>.

Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper

De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.

Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.

Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.