R2 2023 høst LØSNING
Løsningsforslag fra Lektor Seland
Videoløsning del 1 av Lektor Lainz
Videoløsning del 2 av Lektor Lainz
Løsningsforslag laget av OpenMathBooks prosjektet
DEL 1
Oppgave 1
$\int_{-1}^{1}(x^3+2x)dx$
$=[\frac 14 x^4+x^2]_{-1}^{1}$
$=(\frac 14+1)-(\frac 14+1)=0$
Svaret forteller meg enten at arealet av området som er avgrenset av grafen, x-aksen og linjene x = −1 og x = 1 er lik 0, eller at det er et like stort område over og under x-aksen i dette intervallet. Det er det siste som er tilfellet her.
Oppgave 2
Den blå grafen er g(x)=sin x, fordi sin(0)=0. Den rød grafen er da f(x)=cos x, og den krysser y-aksen i y=1 fordi cos(0)=1.
Skjæringspunkt mellom f og g:
$sin\, x = cos\, x$
$x = \frac{\pi}{4} +k\pi$
Skjæringspunktene mellom f og g i det fargelagte området:
$x=-\frac{3\pi}{4}$ og $x=\frac{\pi}{4}$
Areal av det fargelagte området:
$\int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} cos\,x\,dx - \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} sin\,x\,dx$
$=(sin\,(\frac{\pi}{4}) - sin (-\frac{3\pi}{4})-(-cos\,(\frac{\pi}{4})+cos(-\frac{3\pi}{4}))$
$=\frac{\sqrt2}{2}-(-\frac{\sqrt2}{2})-(-\frac{\sqrt2}{2}+(-\frac{\sqrt2}{2}))$
$=2\frac{\sqrt2}{2}+2\frac{\sqrt2}{2}=4\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2$
Arealet av det fargelagte området vist på figuren er $2\sqrt2$.
Oppgave 3
a)
$S = \frac{a_1}{1-k}$
Siden rekken konverger mot 8 må k være $\frac 12 $ :
$8 = \frac{4}{1-k} \Rightarrow k= \frac 12$
$S_4 = 4+2+1+ \frac 12 = 7,5$
b)
I en aritmetisk rekke øker leddene med en fast verdi d.
$a_1 = a_4 - 3d $
$a_7 = a_4 + 3d$
$a_1 + a_4 + a_7 = 114$
$a_4 -3d + a_4 + a_4 +3d =114$
$3 a_4 = 114$
$a_4 = 38$
Oppgave 4
a)
Vi har $\alpha: x-2y+2z+1=0$ og $A(4,2,2)$
$\vec{n}_{\alpha}=[1,-2,2]$
$l=\begin{cases} x = 4+t \\ y = 2-2t \\ z = 2+2t \end{cases}$
b)
$d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, der $(x_0,y_0,z_0)$ er koordinatene til punkt A.
$=\frac{1\cdot4-2\cdot2+2\cdot2+1}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}$
$=\frac{5}{\sqrt9}=\frac53$
Asvtanden fra A til $\alpha$ er $\frac{5}{3}$
Oppgave 5
a)
Programmet regner ut arealet av flaten som er avgrenset av f(x), x- aksen, linjen x = -2 og linjen x = 2.
b)
$f(x) = x^2-1$
Funksjonen har nullpunkter for x=-1 og x= 1. Mellom disse ligger den under x aksen. Den er symmetrisk om y-aksen. Vi integrerer fra -2 til -1 og fra -1 til 0. Til slutt multipliserer vi med 2, for å finne hele arealet.
$A= 2 \cdot ( \int_{-2}^{-1}(x^2-1)dx +| \int_{-1}^{-0}(x^2-1))dx | $
$ = 2 \cdot ( [\frac 13 x^3- x ]_{-2}^{-1} + | [ \frac 13 x^3 - x]_{-1}^{0}) | $
$= 2 \cdot ( (\frac {-1}{3}+1) -( \frac {-8}{3} +2) + | ((0)- (\frac{-1}{3} + 1) |$
$ = 2 \cdot ( \frac 43 + \frac 23) $
$ = 2 \cdot \frac 63 $
$= 4$
Oppgave 6
Arealet av sideflaten BCGF er
$\frac12 |\vec{BF}\times\vec{BC}|+\frac12 |\vec{GF}\times\vec{GC}|$
Regner ut $\vec{BF}\times\vec{BC}$
$=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ -1 & -1 & 3\\ -4 & 0 & 0 \end{vmatrix} $
$=0\vec i -12\vec j -4\vec k$
$=[0,-12,-4]$
Regner ut $\vec{GF}\times\vec{GC}$
$=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & 0 & 0\\ -1 & 1 & -3 \end{vmatrix}$
$=0\vec i +6\vec j +2\vec k$
$=[0,6,2]$
Arealet av sideflaten BCGF er
$\frac12 |\vec{BF}\times\vec{BC}|+\frac12 |\vec{GF}\times\vec{GC}|$
$\frac12 |[0,-12,-4]|+\frac12 |[0,6,2]|$
$=\frac12 \sqrt{0^2+12^2+4^2}+\frac12\sqrt{0^2+6^2+2^2}$
$=\frac12 \sqrt{160}+\frac12\sqrt{40}$
$=\frac12 \cdot 4\sqrt{10}+\frac12\cdot2\sqrt{10}$
$=3\sqrt{10}$
DEL 2
Oppgave 1
a)
Bruker regresjonsanalyse i Geogebra og velger en sinusfunksjon som modell.
Modellen for vannstanden ved verftet er $f(x)=31sin(0,514x+0,19)+83,6$
b)
Bruker CAS i Geogebra. Den 25. april begynner 24 timer etter 24. april.
Ifølge modellen vil vannstanden øke raskest ca. 24,1t og 36,3t etter 24. april, altså like etter midnatt og like etter kl. 12 den 25. april.
c)
Løser oppgaven grafisk i Geogebra denne gangen.
De kan senest starte med å slepe ut plattformen 42 - 2 = 40 timer etter 24. april, altså kl. 16 den 25. april.
Oppgave 2
a)
$P_1=1$
Etter det øker antall kuler i figuren med 5*(n-1) for hver figur.
$P_2=P_1+5\cdot1$
$P_3=P_2+5\cdot2$
$P_n=P_{n-1}+5\cdot(n-1) = P_{n-1}+5n-5$
b)
Programmerer i Python.
$P_{100}=24\,751$
c)
Bruker regresjonsanalyse i Geogebra for å finne en eksplisitt formel.
$P_n=2,5x^2-2,5x+1$