DEL 1

Oppgave 1

$f(x)=4x^2\cdot ln(3x)$

$f'(x)=8x\cdot ln(3x) + 4x^2 \cdot \frac{1}{3x}\cdot 3$

$f'(x)=8x\cdot ln(3x) + 4x$

Oppgave 2

$(ln\,x)^2-lnx=6$

Setter $u=ln\,x$

$u^2-u-6=0$

$(u+2)(u-3)=0$

$u=-2 \vee u=3$

$ln\,x=-2 \vee ln\,x=3$

$x=e^{-2}\vee x=e^3$

$x=\frac{1}{e^2}\vee x=e^3$

Oppgave 3

\[f(x)=e^{-x+1},\,D_f=\mathbb{R}\]

\[ \lim_{x\to \infty} e^{-x+1}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty}}=0\]

\[ \lim_{x\to -\infty} e^{-x+1}=e^{\infty}=\infty\]

Den siste grenseverdien går mot uendelig og eksisterer derfor ikke.

Oppgave 4

$A(3,4), \,B(-1,-2),\, C(3+t,2t)$ der $t\in\mathbb{R}$

a)

Bestemmer stigningstallet fra A til B:

$a=\frac{4-(-2)}{3-(-1)}=\frac 64=\frac 32$

Stigningstallet fra A til C (eller B til C) skal være det samme.

$\frac{2t-4}{3+t-3}=\frac 32$

$\frac{2t-4}{t}=\frac 32$

$4t-8=3t$

$t=8$

(Kunne også brukt at $\vec{AC}=k\cdot\vec{AB}$)

b)

Skalarproduktet mellom vektorene som utspenner en 90 graders vinkel, skal være null.

$\vec{AC}\cdot\vec{BC}=0$

$[3+t-3,2t-4]\cdot[3+t-(-1),2t-(-2)]=0$

$=[t,2t-4]\cdot[t+4,2t+2]=0$

$(t^2+4t)+(4t^2-4t-8)=0$

$5t^2-8=0$

$t=\pm\sqrt{\frac 85}$

Oppgave 5

Vi endrer funksjons definisjonsområde til at 2 ikke er med i definisjonsmengden. :

\[ f(x) = \begin{cases} \quad \quad x,\quad 0\leq x <2 \\ \, 5-x,\quad 2<x\leq 5 \\ \end{cases} \]

Vi har ivaretatt alle kravene:

$\bullet$ Verdimengden er uendret.

$\bullet$ Definisjonsmengden er så stor som mulig (uten å endre verdimengden)

$\bullet$ f er kontinuerlig. Vi sier at f er kontinuerlig hvis f er kontinuerlig for alle $a\in D_f$. Siden funksjonen f ikke er definert i punktet 2, så er f kontinuerlig i alle punkter i definisjonsmengden.

For nærmere forklaring, se s.129-131 i Aschehougs bok "Matematikk S1".

R1 2024 Vår LØSNING

Innhold