R1 2023 Vår LØSNING
Diskusjon av oppgaven på matteprat
Løsningsforslag fra Lektor Seland
Løsningsforslag fra Farhan Omar
Løsningsforslag fra Lektor Trandal
DEL 1
Oppgave 1
$f(x)=e^x+ln\,x$
$f'(x)=e^x+\frac{1}{x}$
Oppgave 2
\[ \lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4} = \frac{2^3-8}{2^2-4} = \frac{0}{0}\]
Bruker l'Hôpitals regel og deriverer teller og nevner hver for seg.
\[ \lim_{x\to 2} \frac{3x^2}{2x}=\frac{3\cdot 2^2}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3\]
Oppgave 3
a)
$\overrightarrow{BA} = [1-4, 3-0] = [-3,3]$
$\overrightarrow{BC} = [9-4, 4-0] = [5,4]$
Vi har $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos\,\alpha$, hvor $\alpha$ er vinkelen mellom vektorene.
Regner ut skalarproduktet av vektorene:
$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = -3\cdot5+3\cdot4=-15+12=-3$
Siden skalarproduktet av de to vektorene er negativt, er $cos\,\alpha$ negativ, og vinkelen mellom vektorene er større enn 90 grader.
b)
Vi ønsker å finne et punkt P på linjen som går gjennom BC, slik at $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP}= 0$
$\overrightarrow{AB} = [4-1, 0-3] = [3,-3]$
Linjen som går gjennom B=(4,0) og C=(9,4) kan uttrykkes ved:
$l:\begin{cases} x=4+5t \\ y= 4t \end{cases}$