Trigonometri I

Trigonometri kan blant annet brukes til å finne vinkler i trekanter og lengen av sidekanter i trekanter. De trogonometriske funksjonene vi skal befatte oss med her er tangens, sinus og cosinus (det finnes tre til). På lommeregnere vil disse funksjonene være merket tan, sin og cos. Vi får også bruk for de omvendte funksjonene. Disse er merket <math>tan^{-1}</math>, <math>sin^{-1}</math>, og <math>cos^{-1}</math>, .

Formlikhet

En trekant er formlik med en annen trekant dersom vinklene i begge trekantene er like store. Dersom man skal påvise at to trekanter er formlike må ett av disse kravene være oppfylt:

1. To vinkler er parvis like store.
2. Forholdet mellom to og to sider er like store, og vinkelen mellom de to sidene er den samme i begge trekanter.
3. Forholdet mellom tre par sider er like store.

I denne figuren er rød trekant formlik blå trekant fordi linjene l og m er parallelle og fordi vinkel C og c er toppvinkler. Vinkel A = a, B = b og C =c. Vi har følgende forhold mellom lengdene på sidekantene i trekantene:

<math> \frac{x}{y}= \frac{x'}{y'}= </math> eller
<math> \frac{z'}{x'}= \frac{z}{x}= </math>
Uttrykkene over kalles for proporsjoner og leses "Forholdet mellom to sider i den ene trekanten er lik forholdet mellom tilsvarende sider i den andre trekanten". Dette gjelder bare når trekantene er formlike.

For å påvise at to figurer er formlike ser man vanligvis etter følgende:

Felles vinkler
90 grades vinkler
Toppvinkler
Samsvarende vinkler
Sammenfallende sider

Test deg selv

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant består av to kateter og en hypotenus. Vi kaller det katetet som sammen med hypotenusen danner den aktuelle vinkelen i trekanten for "hosliggende katet". Det andre katetet blir "motstående katet".

I en rettvinklet trekant, for vinkler mindre enn 90 grader, gjelder:

Tangens

Tangens til den spisse vinkel defineres som forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet til vinkelen x.

$ Tan (x) = \frac{b}{a}$

Eksempel 1:

La oss tenke oss en rettvinklet trekant der den ene vinkelen er 30 og hosliggende katet er 5 enheter. Vi kan da bruke tangensfunksjonen til å finne lengden av det andre katetet.

<math> tan 30^\circ = \frac{a}{5}\Rightarrow a = 5tan 30^\circ = 5 \cdot 0,58 = 2,9 </math>
Lengden av a blir da; a = 2,9 enheter

Eksempel 2:

Dersom vi kjenner lengden av begge katetene kan tangens brukes til å finne vinklene i trekanten.

<math> tan x = \frac{4}{5}=0,8 \Rightarrow x = tan^{-1}(0,8) =38,7^\circ </math>

Test deg selv

Sinus

Sinus til vinkelen x defineres som forholdet mellom motstående katet til x og hypotenusen.

$Sin (x) = \frac{b}{c}$

Eksempel 3:

Dersom vi kjenner hypotenusen og motstående katet til vinkel x, finner vi vinkel x slik:
<math> sin x = \frac{5}{10}\Rightarrow x = Sin^{-1}(0,5) = 30^\circ </math>

Eksempel 4:

<math> sin 45^\circ = \frac{5}{x}\Rightarrow x \cdot sin45 ^\circ = 5 \Rightarrow x= \frac{5}{sin45 ^\circ}</math>

Lengden til hypotenusen er 7,1 enheter.

Test deg selv

Cosinus

Cosinus til vinkelen x defineres som forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen.

$Cos (x) = \frac{a}{c}$

Eksempel 5:

Finn vinkel x:
<math> Cos x = \frac{7}{9}\Rightarrow x = Cos^{-1}(\frac{7}{9}) \Rightarrow x= 38,9^\circ </math>

Eksempel 6:

Finn lengden av katetet x:

<math> Cos 60^\circ = \frac{x}{10}\Rightarrow x = 10 \cdot Cos 60^\circ \Rightarrow x=10 \cdot 0,5 = 5 </math>

Lengden til katetet x er 5 enheter.

Vi har så langt sett på definisjoner for de trigonometriske funksjonene når vinkelen er mindre enn 90 grader. Vi har behov for å definere de trigonometriske funksjonene for vinkler større enn 90º og for vinkler mindre enn 0º.

Test deg selv

Enhetssirkelen

For å kunne definere de trigonometriske funksjonene for vinkler større enn 90 grader introduserer vi enhetssirkelen. Enhetssirkelen har sentrum i origo og radius en.

Man definerer cosinus til vinkelen v som x-koordinaten og sinus til v som y-koordinaten.

Animasjon enhetssirkelen

Sinus [0,180]

To vinkler som til sammen blir 180 grader kalles supplementvinkler. På grunn av symmetri om y-aksen har man at

Sin u = Sin(180 - v) = Sin v

Sinus til en vinkel i 1. og 2. kvadrant er en positiv verdi.

Dersom vinkelen ligger i 3. eller 4. kvadrant er sinus negativ.

Test deg selv

Cosinus [0,180]

Cosinus er positiv i første kvadrant, for vinkler opp til 90 grader. I andre kvadrant er cosinus negativ.

Dersom vinklene u og v er supplementvinkler er:

Cos u = cos (180 - v) = - cos v

Test deg selv

arealsetningen

Når sidene i en trekant har lengden b og c, og vinkelen mellom dem er A, Så er arealet T av trekanten gitt ved:

<math> T= \frac12bc \cdot SinA </math>
eller
<math> T= \frac12ac \cdot SinB </math>
eller
<math> T= \frac12ab \cdot SinC </math>
For å finne arealet i en vilkårlig trekant trenger man to sider og vinkelen mellom dem.

Eksempel 7:

<math> T= \frac12bc \cdot SinA = \frac12 \cdot 12cm \cdot 6cm \cdot Sin32 = 19 cm^2 </math>

Test deg selv

Bevis for arealsetningen

Areal av trekant: $A = \frac{Gh}{2} $ Vi observer at $sin A= \frac hb \Rightarrow h =b\cdot sinA$ Setter det inn for h i arealformelen og får: $A = \frac{Gb\cdot sinA}{2} = \frac 12 \cdot G \cdot b \cdot sinA $

Altså en halv gange en side gange den andre siden, gange sinus til vinkelen mellom dem.

sinussetningen

I en trekant med vinkler A, B og C og sider a, b og c er følgende forhold gitt:

<math> \frac{SinA}{a} =\frac{SinB}{b} = \frac{SinC}{c}</math>
eller

Man kan bruke setningen for å finne en side, dersom man kjenner to vinkler og en side, eller, for å finne en vinkel, dersom man kjenner to sider og en vinkel.

Eksempel 8:
I trekanten ABC er vinkel A 60, AC er 10cm. BC er 9 cm. En figur av trekanten kan se slik ut.

<math> \frac{Sin60}{9} =\frac{SinB}{10}\Rightarrow Sin B = 0,962</math>

Ved å trykke på kalkulatoren får man <math> Sin^{-1}(0,962) = 74,2^\circ</math>
Her må man passe på, fordi det er to løsninger. Vinkel B kan være stomp med verdien <math> B = 180^\circ - 74,2^\circ = 105,8^\circ</math>

Ved bruk av sinussetningen må man alltid sjekke om det kan være to mulige løsninger. I dette tilfelle kan det se slik ut:

Bevis for sinussetningen

Beviset bygger på beviset for arealsetningen.

Trekanten over har det samme arealet uansett hvilken av sidene du velger som grunnlinje.

$A= \frac {a \cdot h3}{2} = \frac {b \cdot h2}{2}= \frac {c \cdot h1}{2} = \frac 12 ac\cdot sin B =\frac 12 ac\cdot sin B\frac 12 ac\cdot sin B $

Cosinussetningen

I en trekant med vinkler A, B og C og sider a, b og c (a motstående til A osv.) er

<math>a^2 =b^2+ c^2 - 2bc \cdot cosA </math>
eller
<math>b^2 =a^2+ c^2 - 2ac \cdot cosB </math>
eller
<math>c^2 =a^2+ b^2 - 2ab \cdot cosC </math>

Setningen kalles også den utvidede pytagoreiske læresetning.
Dersom man kjenner alle tre sidene i en trekant kan man bruke cosinussetningen til å finne vinklene. Man kan også bruke cosinussetningen til å finne en side, dersom man kjenner to sider og motstående vinkel til den ukjente siden.

Eksempel 9 :
En trekant har sider med lengde 4,3 og 2. Hva er vinklene i trekanten? Trekanten kan se slik ut:

<math>a^2 =b^2+ c^2 - 2bc \cdot cosA \Rightarrow Cos A = \frac{a^2 -b^2- c^2}{-2bc} = \frac{4-9-16}{-2\cdot 3 \cdot 4}= \frac{21}{24}\Rightarrow A = 29 ^\circ</math>

<math>b^2 =a^2+ c^2 - 2ac \cdot cosB \Rightarrow Cos B = \frac{b^2 -a^2- c^2}{-2ac} = \frac{9-4-16}{-2\cdot 2 \cdot 4}= \frac{11}{16}\Rightarrow B = 46,6 ^\circ</math>

Bevis for cosinussetningen

Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.

Spissvinklede:

Bruker pytagoras på trekanten ADC:

<math>x^2 + h^2 = b^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</math>

Bruker pytagoras på trekanten DBC:

Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre:

$b^2 - x^2 + c^2 - 2cx + x^2 =a^2$

$a^2 = b^2 + c^2 -2cx$

Finner cosA:

<math> cosA = \frac xb \Rightarrow x = b \cdot cosA</math>

og får:

Stompvinklede:

Bruker pytagoras på trekanten DBC:

Bruker pytagoras på trekanten DAC:

<math>b^2 = x^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</math>

Kombinere resultatene og får:

Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man:

<math>cos(180 - A) = - cosA = \frac xb \Rightarrow x = -bcosA </math> som gir:

<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA</math>