R1 2022 Vår LK20 LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Videoløsning del 1 av Lektor Lainz

Løsning som pdf av Farhan Omar

DEL 1

Oppgave 1

a)

f(x)=x3+lnx

f(x)=3x2+1x

b)

g(x)=xe2x

g(x)=1e2x+x2e2x=e2x(1+2x)

Oppgave 2

e2xex=2

(ex)2ex2=0

Setter u=ex

u2u2=0

(u+1)(u2)=0

u=1u=2

ex=1ex=2

Forkaster det negative svaret fordi ln(-1) ikke er definert.

ln(ex)=ln(2)

x=ln(2)

Oppgave 3

limx3x3x2+x12

=limx3x3(x3)(x+4)

=limx31x+4

=17

Oppgave 4

a)

AC=[t1,42]=[t1,2]

AB=[11,52]=[2,3]

Dersom vinkelen mellom to vektorer er 90 grader, er skalarproduktet av disse to vektorene lik 0.

ACAB=0

[t1,2][2,3]=0

(t1)(2)+23=0

2t+2+6=0

2t=8

t=4

Anbefaler å tegne punktene i et koordinatsystem for å se at det stemmer.

b)

Dersom A, B og C skal ligge på en rett linje, er AC og AB parallelle. Da har vi at:

AC=kAB

[t1,2]=k[2,3]

Dette gir oss to likninger:

It1=2k

II2=3kk=23

Setter inn k=2/3 inn i likning I:

It1=223

t=43+1

t=13

Anbefaler å tegne punktene i et koordinatsystem for å se at det stemmer.

Oppgave 5

a)

Eleven ønsker å finne toppunktet til funksjonen f, i intervallet x[0,

Linje 1-2: her defineres funksjonen f(x)

Linje 4: variabelen x gis verdien 0

Linje 5: variabelen h gis verdien 0,001

Linje 6: dette er en while-løkke som gjentar operasjonen i linje 7, så lenge funksjonsverdien f(x) er mindre enn eller lik funksjonsverdien f(x+h).

Linje 7 (inni while-løkka): verdien til x økes med h.

Linje 9: etter at while-løkken er ferdig, skrives verdien til x ut. Dette er en tilnærming til x-verdien hvor funksjonsverdien f(x) ikke lenger er mindre eller lik funksjonsverdien f(x+h). Vi har da funnet tilnærmet x-verdi for toppunktet til funksjonen.

b)

Vi kan finne toppunktet ved regning, ved å sette f'(x) lik 0.

f(x)=x1+x2

f(x)=1(1+x2)x2x(1+x2)2=1+x22x2x4+2x2+1=x2+1x4+2x2+1

Setter f'(x)=0:

x2+1x4+2x2+1=0

x2+1=0

x2=1

x=1x=1

Vi forkaster det negativet svaret, siden programmet bare finner toppunktet for x[0,

Sjekker at x=1 er et toppunkt, og ikke et bunnpunkt eller terrassepunkt, ved å sjekke at den deriverte er positiv før ekstremalpunktet (grafen til f vokser), og at den deriverte er negativ etter ekstremalpunktet (grafen til f synker):

f(0)=02+104+202+1=11=1

f(2)=22+124+222+1=4+116+8+1=325

Vi har nå vist at funksjonen har et toppunkt i x=1.

DEL 2

Oppgave 1

f(x)={x2+1,x<2xt,x2

a)

For at funksjonen f skal være kontinuerlig, må grenseverdien når x går mot 2 fra venstre, være lik grenseverdien når x går mot 2 fra høyre.

limx2x2+1=5

limx2+xt=5t=3

b)

Vi må sjekke om limx2f(x) eksisterer.

f(x)={2x,x<21,x>2

limx2f(x)=limx22x=4

limx2+f(x)=limx2+1=1

Grenseverdien eksisterer ikke, og f(2) eksisterer derfor ikke. Funksjonen er ikke deriverbar i x=2, når t=3.

Oppgave 2

a)

Finner vinkelen mellom vektorene a og b:

ab=|a||b|cosα

cosα=ab|a||b|

cosα=323

α=cos1(12)

α=120


Vi har u=a+b. Bruker cosinussetningen til å finne lengden av u:

|u|2=|a|2+|b|22|a||b|cos60

|u|2=22+3222312

|u|2=7

|u|=72,6


Vi har v=a6b. Bruker cosinussetningen til å finne lengden av v, men nå går b i motsatt retning, så vinkelen mellom a og -b er 60o.

|v|2=|a|2+(6|b|)22|a|6|b|cos120

|v|2=22+(63)22263cos(120)

|v|2=4+32472(12)

|v|=36419,1

b)

Finner skalarproduktet av u og v:

uv=(a+b)(a6b)

=a26ab+ab6b2

=a25ab6b2

=|a|25ab6|b|2

=225(3)632

=4+1554

=35

Finner vinkelen mellom u og v:

cosα=uv|u||v|

cosα=357364

α134

Oppgave 3

Oppgave 4

Bruker CAS i Geogebra.

Det tar ca. 7,8 timer før temperaturen i kaffen er mindre enn 40 grader Celsius.

Oppgave 5

Oppgave 6

Oppgave 7

Oppgave 8