S1 2019 vår LØSNING
Diskusjon av denne oppgaven på matteprat
Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas
DEL EN
Oppgave 1
a)
$3^{x-5} = 81 \\ 3^{x-5} = 3^4 \\ x-5 = 4 \\ x=9 $
b)
$x^2-7x+10 =0$
Faktoriserer
$x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)$
Finner nullpunktene:
$(x-2)(x-5)=0 \\ x=2 \vee x = 5$
Kan også bruke abc - formelen for faktorisering.
c)
$lg(x+3) - lgx = 1 \quad x>0 \\ lg ( \frac{x+3}{x} )= 1 \\ 10^{lg(\frac {x+3}{x} )}= 10^1 \\ \frac{x+3}{x} = 10 \\ x+3 = 10x \\ 9x = 3 \\ x = \frac{1}{3}$
Oppgave 2
a)
$ \frac{16^2 \cdot 27^3}{72^2 \cdot 12} \\= \frac{(2^4)^2 \cdot (3^3)^3}{(2^3\cdot 3^2)^2 \cdot 2^2 \cdot 3 } \\ = \frac{2^8 \cdot 3^9}{2^6 \cdot 3^4 \cdot 2^2 \cdot 3} \\ = \frac{2^8 \cdot 3^9}{2^8 \cdot 3^5} \\ = 2^{8-8} \cdot 3^{9-5} = 2^0 \cdot 3^4 = 3^4 = 81$
b)
$ \frac{x-2}{x-1} - \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1} \\ =\frac{(x-2) \cdot \color{red}{ (x+1)}}{(x-1) \cdot \color{red}{ (x+1)}} - \frac{x \cdot \color{red}{ (x-1)}}{(x+1) \cdot \color{red}{ (x-1)}} - \frac{2x}{(x+1)(x-1)} \\= \frac{(x^2+x-2x-2) - (x^2-x) - 2x}{(x-1)(x+1)} \\= \frac{x^2+x-2x-2-x^2+x-2x}{(x-1)(x+1)} \\ = \frac{-2x-2}{(x-1)(x+1)} \\ = \frac{-2(x+1)}{(x-1)(x+1)} \\ = - \frac{2}{x-1}$
c)
$lg( \frac{2}{x^2}) + lg (2x^2) + lg(x) - lg (4x) \\ =( lg(2) - lg(x^2)) + ( lg (2) + lg(x^2)) + lg(x) - (lg(4) + lg(x)) \\= lg(2) - 2lg(x) +lg(2) + 2lg(x) + lg(x)- lg(2^2) - lg(x) \\ = 2 lg(2) + lg(x) -2lg(2) - lg(x) \\ = 0 $
Oppgave 3
<math> \left[ \begin{align*} x^2+2y =13x \\ 3x - y =-5 \end{align*}\right] </math>
Løser andre likning og setter inn i den første.
$ y = 3x + 5$
Vi setter inn for y i den første likningen:
$x^2 + 2 (3x + 5) = 13x \\ x^2 + 6x+10 = 13x \\x^2 -7x + 10 = 0$
Fra oppgave 1b) har vi at $x_1=2$ og $x_2=5$
Fra andre likning har vi:
$y_1=3\cdot2+5=11$
$y_2=3\cdot 5+5=20$
Løsning: $x_1=2$, $y_1=11$ og $x_2=5$, $y_2=20$
Oppgave 4
a)
Pris brus = x og pris pølse = y.
<math> \left[ \begin{align*} 6x + 4y =170 \\ 5x + 10y =275 \end{align*}\right] </math>
b)
Løser likning II med hensyn på x:
$5x=275-10y \\ x = 55 - 2y $
setter så uttrykket for x inn i likning I:
$6( 55 - 2y) +4y =170 \\ 330 -12y + 4y = 170 \\ -8y = -160 \\ y = 20$
Setter inn y=20 i likning II:
$x= 55-2\cdot 20=55-40=15$
En brus koster 15 kroner og en pølse koster 20 kroner.
Oppgave 5
a)
$ f(x) = x^3+3x \\ f ' (x) = 3x^2+3 \\ f '(1) = 3 \cdot 1 + 3 = 6 $
Når x =1 har funksjonen en momentan vekstfart på 6.
b)
Den deriverte er positiv for alle verdier av x, derfor er funksjonen voksende og har kun positive tangenter.
c)
$ f ' (x) = 15 \\ 3x^2+3 = 15 \\ 3x^2 = 12 \\ x^2 = 4 \\ x= \pm 2 $
Oppgave 6
a)
$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120 $
120 ulike grupper på tre deltakere kan komme til finalen.
b)
Vi har flere kvinner enn menn i en gruppe på tre, dersom vi har to eller tre kvinner.
P(to eller tre kvinner) = $\frac{\binom{5}{2} \binom{5}{1}}{ \binom{10}{3}} + \frac{\binom{5}{3} \binom{5}{0}}{ \binom{10}{3}} = \frac{10 \cdot 5}{120} + \frac{10 \cdot 1 }{120} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$
60 av de 120 gruppene, det vil si halvparten, inneholder flere kvinner enn menn.
Oppgave 7
a)
Ulikhetene som begrenser området:
$x \geq 0$
$y \geq 0$
$y \leq 0,5x+2$
$y \leq -2x+6$
b)
Finner skjæringspunktene for de to linjene:
$0,5x+2=-2x+6 \\ 2,5x=4 \\ x=\frac{4}{2,5} =\frac{16}{10}=1,6$
$y= 0,5\cdot 1,6+2=0,8+2=2,8$
Sjekker hjørnene i område for den største verdien av $3x+y$
$(1.6,2.8) \Rightarrow 3\cdot 1.6+2.8=4.8+2.8=7.6$
$(0,2) \Rightarrow 3\cdot 0+2=2$
$(3,0) \Rightarrow 3\cdot 3+0=9$
Den største verdien størrelsen $3x+y$ kan ha innenfor det blå området er 9..
c)
$(0,2)$ satt inn i størrelsen $y-a\cdot x$ gir verdien $2-a\cdot 0 = 2$
Verdien av $a$ må være slik at de andre to hjørnene ikke får en verdi større enn 2.
For hjørnet $(3,0)$ får vi verdien $0-a\cdot 3=-3a$. Vi har $-3a < 2 $ for alle $a > -\frac{2}{3}$
For hjørnet $(1.6,2.8)$ får vi verdien $2.8-a\cdot 1.6$.
$2.8-a\cdot 1.6 < 2 \\ -1.6a < -0.8 \\ a>0,5 $
Vi må ha $a>0,5$ for at størrelsen $y-a\cdot x$ skal ha størst verdi i $(0,2)$.
Oppgave 8
a)
Omkrets: $ O = 4y +8x = 12 \\ 4y = 12 - 8x \\ y= 3-2x$
Areal: $A= y^2+2x^2 \\ A(x)= (3-2x)^2+2x^2 \\ A(x)= 9-12x+4x^2+2x^2 \\ A(x)= 6x^2-12x +9$
b)
$A' (x)= 12x -12 \\ A' (x)=0 \\ 12x-12 =0 \\ x=1 \\ $
Innsatt for y: $y = 3 - 2x \\ y = 3 - 2 \cdot 1 \\ y=1$
Det minste arealet får man når både x = 1 og y = 1.
DEL TO
Oppgave 1
a)
Vi har $x\geq 0$ og $y \geq 0$ fordi bakeren må lage 0 eller flere kaker. Han kan ikke lage et negativt antall kaker.
La x være antall kaker av type A, og y være antall kaker av type B.
For mel har vi:
$300x+500y \leq 50000 \\ \frac{300}{100}x+\frac{500}{100}y \leq \frac{50000}{100} \\ 3x+5y\leq 500$
For sukker har vi:
$100x+50y\leq 7000 \\ \frac{100}{50}x+\frac{50}{50}y\leq \frac{7000}{50} \\ 2x+y \leq 140$
For smør har vi:
$125x+50y\leq 8500 \\ \frac{125}{25}x+\frac{50}{25}y \leq \frac{8500}{25}\\ 5x+2y \leq 340$
b)
