R1 2019 vår LØSNING
Løsningsforslag laget av matteprat-bruker SveinR
Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas
Diskusjon av denne oppgaven på matteprat
DEL 1
Oppgave 1
a)
$f(x)=x^3+2x^2-\sqrt{x} \\ f'(x)=3x^2+4x-\frac{1}{2\sqrt{x}}$
b)
$g(x)=x^2\cdot ln(2x-1) \\ g'(x)=2x\cdot ln(2x-1)+\frac{2x^2}{2x-1}$
Brukte produktregelen og kjerneregelen. Løsningen kan evt. faktoriseres.
c)
$ h(x) = \frac{4x}{e^{2x}} \\ h'(x)=\frac{4e^{2x}-4x\cdot 2e^{2x}}{(e^{2x})^2} \\ = \frac{e^{2x}(4-8x)}{(e^{2x})(e^{2x})} = \frac{-8x+4}{e^{2x}}$
Oppgave 2
a)
$\frac{1}{x^2-x}+\frac{1}{x^2+x}-\frac{1}{x^2-1} \\ = \frac{1}{x(x-1)}+\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{(x+1)(x-1)} \\ = \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}+\frac{x-1}{x(x+1)(x-1)}-\frac{x}{x(x+1)(x-1)}\\ = \frac{x+1+x-1-x}{x(x+1)(x-1)} \\ = \frac{x}{x(x+1)(x-1)} \\ = \frac{1}{x^2-1}$
b)
$\frac{(ln\,e^3+1)^2}{(e^{ln\,3}+1)} = \frac{(3+1)^2}{(3+1)^3}=\frac{4^2}{4^3}=\frac{1}{4}$
Oppgave 3
a)
$(2x-1)=0 \\ x=\frac{1}{2}$
Sjekker om $x=\frac{1}{2}$ er et nullpunkt for $f(x)$:
$f(\frac{1}{2})= 2(\frac{1}{2})^3-3(\frac{1}{2})^2-11\cdot \frac{1}{2}+6 \\ = \frac{2}{8}-\frac{3}{4}-\frac{11}{2}+6 \\ = \frac{2}{8}-\frac{6}{8}-\frac{44}{8}+6 \\ = \frac{-48}{8}+6 = -6+6 = 0$
$x=\frac{1}{2}$ er et nullpunkt for $f(x)$, det vil si at divisjonen $f(x):(2x-1)$ går opp.
b)
Utfører polynomdivisjonen $f(x) : (2x-1)$
$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$
$f(x)=(2x-1)(x-3)(x+2)$
c)
$f(x) \geq (2x-1)(x+2) \\ (x-3)(2x-1)(x+2) \geq (2x-1)(x+2) \\ (x-3)(2x-1)(x+2) - (2x-1)(x+2) \geq 0$
Setter felles faktor $(2x-1)(x+2)$ utenfor parentes.
$ (2x-1)(x+2)((x-3)-1) \geq 0 \\ (2x-1)(x+2)(x-4) \geq 0 $
$f(x) \geq (2x-1)(x+2)$ når $x \in [-2, \frac{1}{2}] \cup [4,\rightarrow \rangle$
Oppgave 4
a)
Vi har punktene $A(1,3)$ og $B(5,-1)$
$\vec{AB}=[5-1,-1-3]=[4,-4]$
$|\vec{AB}|=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=\sqrt{2\cdot 16}=4\sqrt{2}$
b)
Likning for en sirkel med sentrum i $(x_0, y_0)$:
$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 $
Husk at sirkelens diameter er fra punkt A til punkt B. Sentrum i vår sirkel blir midt mellom punkt A og B, i (3,1).
Radius blir $\frac{4\sqrt{2}}{2}= 2\sqrt{2}$
Vi setter inn våre verdier og får likningen for sirkelen:
$ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (2\sqrt{2})^2 \\ (x-3)^2 + (y-1)^2 = 4\cdot 2 \\ (x-3)^2 + (y-1)^2 = 8 $