Trigonometriske likninger

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Det finnes forskjellige typer trigonometriske ligninger og ofte er det forskjellige måter å løse de på. Nedenfor følger en oversikt over de vanligste typene og et forslag til hvordan de kan løses.

Det er viktig å ha enhetssirkelen i bakhodet og spesielt være klar over følgende:

sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
tan(x+π)=tanx

1. Trigonometriske grunnligninger

Trigonometriske ligninger som kun involverer én trigonometrisk funksjon, kaller vi trigonometriske grunnligninger. Dise er de enkleste trigonometriske ligningene å løse, og krever kun kunnskap om de trigonometriske funksjonenes inverser.

Løsningsmetode for trigonometriske grunnligninger

Vi tar for oss ligningen

asin(bx)=c Vi vil løse denne ligninger for x. Det første vi gjør er å isolere sin(bx) på venstresiden:

sin(bx)=ca

Siden høyresiden er lik venstresiden, vil arcsin av høyresiden være lik arcsin av venstresiden. Altså:

arcsin(sin(bx))=arcsin(ca) Dette gir oss to uttrykk for x:

bx=arcsin(ca)πbx=arcsin(ca)

(Se seksjonen om trigonometriske identiteter) Sinus er periodisk i 2π så vi må legge til en vilkårlig multippel av 2π på hver side.

bx+k2π=arcsin(ca)πbx+k2π=arcsin(ca),kZ

Når vi isolerer x på venstresiden får vi
x=arcsin(ca)k2πbx=arcsin(ca)π(2k+1)b,kZ

Den samme fremgangsmåten kan benyttes på trigonometriske grunnligninger med cos og tan også, men husk at disse har litt forskjellige egenskaper, så løsningene blir ikke de samme.

EKSEMPEL 1.

COS

2cos(πx)=1x[0,2π>cos(πx)=12πx=π3+k2ππx=2ππ3+k2πx=13+2kx=213+2kx=13x=73x=133x=53x=113x=173

x{13,53,73,113,133,173}

Slik ser det ut:


SIN

sin(π4x)=12x[0,2π>π4x=π6+2kππ4x=ππ6+2kπx=23+8kx=423+8kx=23x=103

x{23,103}

Slik ser det ut:


TAN

0,3tan(4x)=2x[0,π2>tan(4x)=6,6674x=1,42+kπx=0,36x=1,14

x{ 0,36 , 1,14}


Slik ser det ut:

2)

acos2x+bcosx+c=0 eller asin2x+bsinx+c=0

Løses ved å erstatt cos x , eventuelt sin x, med u. Løser andregradsligningen og setter løsningen(e) lik cos x (eller sin x) og finner mulige x verdier.

Eksempel 2.

sin2x+sinx1=0,x[0,2π>

Setter sin x = u og bruker andregradsformelen, og får:

sinx=512

sinx=5+12


Merk at 5+12>1, altså har ikke denne grunnligningen noen løsninger.

Vi står igjen med kun den første trigonometriske grunnligningen. Når vi løser denne, får vi

x=0,67x=2,48

Slik ser det ut:


x{0,67 , 2,48}

3)

asinx+bcosx=0

Begge sider divideres med cos x (forskjellig fra null). Vi får da en identitet i tan x.

Eksempel 3.

4sinx2cosx=0x[0,2π>4tanx2=0tanx=12x=tan1(12)=0,46+kπx=0,46x=3,61

x {0,46 , 3,61}

Slik ser det ut:

4)

acos2x+bsinx+c=0 eller asin2x+bcosx+c=0

Ligningen løses ved å erstatte sin2x med 1cos2x eller cos2x med 1sin2x

Eksempel 4.

sinx+2cos2x=1,x[0,2π>
Vi kjenner identiteten sin2x+cos2x=1. Den kan vi bruke her for å omforme ligningen til
sinx+22sin2x=1
2sin2xsinx1=0
Dette er en andregradslikning i sinx, som vi kan løse:
sinx=1±1+84=1±34
sinx=1+34=1sinx=134=12
sinx=1x=π2
sinx=12x=7π6x=11π6


x=π2x=7π6x=11π6

x{π2,7π6,11π6}

Slik ser det ut:

4)

asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0

Løses ved å dividere begge sider av likhetstegnet med cos2xcosx0

Eksempel 4.

2sin2x+3sinxcosxcos2x=0x[0,2π>2tan2x+3tanx1=02u2+3u+1=0

Løses så som likning 1.


Slik ser det ut:

5)

asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d

Her må konstantleddet skrives om : d=d1=d(sin2x+cos2x) . Ligningen løses nå som beskrevet i punktet over.

Eksempel 5.

4sin2x+sinxcosx3cos2x=3x[0,2π>4sin2x+sinxcosx3cos2x=3sin2x+3cos2xsin2x+sinxcosx6cos2=0tan2x+tanx6=0tanx=3tanx=2x=1,24+kπx=1,11+kπx=1,11x=4,25x=1,90x=5,04

x{1,11 , 1,90 , 4,25 , 5,04}

Slik ser det ut:

6)

Likninger av typen

asincx+bcoscx=d

Løses ved å skrive om til:

Asin(cx+φ)=d der A=a2+b2 og φ er gitt vedφ=ba og φligger i samme kvadrant som (a,b).

Eksempel 6.

Eksempel:

sinx+cosx=1

A=a2+b2=2a=b=1

Vinkelen φ ligger i første kvadrant, φ=tan1(1)=π4

Vi får

2sin(x+π4)=1sin(x+π4)=22x+



Det ser slik ut:

7)

a2±ab=0a(a±b)=0

a og b er sinx og cosx, eler cosx og sinx.

Eksempel 7.

Når vi skal løse trigonometriske ligninger må vi ofte dele den opp i flere trigonometriske grunnligninger før vi kan løse den. Et klassisk eksempel er faktoriseringsmetoden. Vi tar for oss ligningen

sinxcosxcosx=0,x[0,2π>

Selv om det kan være fristende, må du, uansett hva du gjør, ikke dele på cosx. Generellt prøver man å ikke dele eller multiplisere med funksjoner av variabler, fordi du kan miste løsninger, eller lage falske løsninger. Dette gjelder generellt når du deler på null eller multipliserer med null. Istedet faktoriserer vi ligningen:

cosx(sinx1)=0

Nå ser vi at for at ligningen skal oppfylles, må cosx=0 eller sinx1=0. Vi har klart å redusere den kompositte trigonometriske ligningen til to trigonometriske grunnligninger.
sinx=1x=π2
cosx=0x=π2x=3π2

x{π2,3π2}

NB: Dersom du på forhånd har sjekket at det du deler eller multipliserer med ikke er lik null, er det greit å gjennomføre operasjonen. Dette kan gjøres ved å plugge inn null for den aktuelle faktoren og se om likningen oppfylles.