Trigonometriske likninger
Det finnes forskjellige typer trigonometriske ligninger og ofte er det forskjellige måter å løse de på. Nedenfor følger en oversikt over de vanligste typene og et forslag til hvordan de kan løses.
Det er viktig å ha enhetssirkelen i bakhodet og spesielt være klar over følgende:
1. Trigonometriske grunnligninger
Trigonometriske ligninger som kun involverer én trigonometrisk funksjon, kaller vi trigonometriske grunnligninger. Dise er de enkleste trigonometriske ligningene å løse, og krever kun kunnskap om de trigonometriske funksjonenes inverser.
Løsningsmetode for trigonometriske grunnligninger
Vi tar for oss ligningen
Siden høyresiden er lik venstresiden, vil
(Se seksjonen om trigonometriske identiteter)
Sinus er periodisk i
- Når vi isolerer
på venstresiden får vi
Den samme fremgangsmåten kan benyttes på trigonometriske grunnligninger med
EKSEMPEL 1.
2)
Løses ved å erstatt cos x , eventuelt sin x, med u. Løser andregradsligningen og setter løsningen(e) lik cos x (eller sin x) og finner mulige x verdier.
Eksempel 2.
Setter sin x = u og bruker andregradsformelen, og får:
Merk at
Vi står igjen med kun den første trigonometriske grunnligningen. Når vi løser denne, får vi
Slik ser det ut:
3)
Begge sider divideres med cos x (forskjellig fra null). Vi får da en identitet i tan x.
Eksempel 3.
4)
Ligningen løses ved å erstatte
Eksempel 4.
- Vi kjenner identiteten
. Den kan vi bruke her for å omforme ligningen til
- Vi kjenner identiteten
- Dette er en andregradslikning i
, som vi kan løse:
- Dette er en andregradslikning i
Slik ser det ut:
4)
Løses ved å dividere begge sider av likhetstegnet med
Eksempel 4.
5)
Her må konstantleddet skrives om :
Eksempel 5.
6)
der og er gitt ved og ligger i samme kvadrant som (a,b).
Eksempel 6.
7)
a og b er sinx og cosx, eler cosx og sinx.
Eksempel 7.
Når vi skal løse trigonometriske ligninger må vi ofte dele den opp i flere trigonometriske grunnligninger før vi kan løse den. Et klassisk eksempel er faktoriseringsmetoden. Vi tar for oss ligningen
Selv om det kan være fristende, må du, uansett hva du gjør, ikke dele på
- Nå ser vi at for at ligningen skal oppfylles, må
eller . Vi har klart å redusere den kompositte trigonometriske ligningen til to trigonometriske grunnligninger.
- NB: Dersom du på forhånd har sjekket at det du deler eller multipliserer med ikke er lik null, er det greit å gjennomføre operasjonen. Dette kan gjøres ved å plugge inn null for den aktuelle faktoren og se om likningen oppfylles.