Trigonometriske identiteter
Spisse vinkler
De trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus, tangens. Vanligvis forkortes disse sin, cos, tan. For spisse vinkler defineres de trigonometriske funksjonene som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Vi har:
DEFINISJONER
• <math>sin B = \frac ba </math>
• <math>cos B = \frac ca </math>
• <math>tan B = \frac bc = \frac{sin B}{ cos B}</math>
Enhetssirkelen - sin - cos - tan
De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler. Vi tegner en sirkel med radius 1 der positive vinkler kan tenkes framkommet ved en dreining mot klokken og negative vinkler fremkommer ved dreining med klokken. Dette kalles orienterte vinkler. I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer). Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger:
$sin (a) = y \quad \quad cos (a) = x \quad \quad tan (a) = \frac yx $
\\ \\ cot (a) = \frac xy \quad \quad sec (a) = \frac 1x \quad \quad cosec (a) = \frac 1y </math>
Sin og cos har alle perioden $2\pi$. Tan har perioden $\pi$.
Enhetssirkelen og dens fire kvadranter
Identiteter
Geometrisk tolkning av de trigonometriske funksjonene. Figuren nedenfor viser de forskjellige trigonometriske funksjonene inntegnet i enhetssirkelen.
Definisjoner:
Det finnes mange trigonometriske identiteter. Her er noen av dem.
$sin^2v + cos^2v = 1\quad \quad \color{red}{(1)}$
BEVIS (1):
Relasjonen fremkommer ved å anvende Pytagoras direkte i enhetssirkelen.
$ tan^2v + 1 = sec^2v\quad \quad\quad \quad \color{red}{(2)} \\ cot^2v+1 = csc^2v\quad \quad \color{red}{(3)}$
| Uttrykt ved | <math> \sin v\!</math> | <math> \cos v\!</math> | <math> \tan v!</math> | <math> \csc v\!</math> | <math> \sec v\!</math> | <math> \cot v\!</math> |
|---|---|---|---|---|---|---|
| <math> \sin v =\!</math> | <math> \sin v \! </math> | <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 v}\! </math> | <math>\pm\frac{\tan v}{\sqrt{1 + \tan^2 v}}\! </math> | <math> \frac{1}{\csc v}\! </math> | <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 v - 1}}{\sec v}\! </math> | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 v}}\! </math> |
| <math> \cos v =\!</math> | <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2 v}\! </math> | <math> \cos v\! </math> | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 v}}\! </math> | <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 v - 1}}{\csc v}\! </math> | <math> \frac{1}{\sec v}\! </math> | <math>\pm\frac{\cot v}{\sqrt{1 + \cot^2 v}}\! </math> |
| <math> \tan v =\!</math> | <math>\pm\frac{\sin v}{\sqrt{1 - \sin^2 v}}\! </math> | <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 v}}{\cos v}\! </math> | <math> \tan v\! </math> | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 v - 1}}\! </math> | <math>\pm\sqrt{\sec^2 v - 1}\! </math> | <math> \frac{1}{\cot v}\! </math> |
| <math> \csc v =\!</math> | <math> \frac{1}{\sin v}\! </math> | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 v}}\! </math> | <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 v}}{\tan v}\! </math> | <math> \csc v\! </math> | <math>\pm\frac{\sec v}{\sqrt{\sec^2 v - 1}}\! </math> | <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 v}\! </math> |
| <math> \sec v =\!</math> | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 v}}\! </math> |
<math> \frac{1}{\cos v}\! </math> | <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 v}\! </math> | <math>\pm\frac{\csc v}{\sqrt{\csc^2 v - 1}}\! </math> | <math> \sec v\! </math> | <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 v}}{\cot v}\! </math> |
| <math> \cot v =\!</math> | <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 v}}{\sin v}\! </math> | <math>\pm\frac{\cos v}{\sqrt{1 - \cos^2 v}}\! </math> | <math> \frac{1}{\tan v}\! </math> | <math>\pm\sqrt{\csc^2 v - 1}\! </math> | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 v - 1}}\! </math> | <math> \cot v\! </math> |
Sum og differanser av vinkler
Vinkelen (u-v) er vinkelen mellom vektorene $\vec{OB}$ og $\vec{OC}$ Begge disse har lengde en.
$\vec{OB}= [\cos v, \sin v] \\ \vec{OC} = [\cos u, \sin u]$
Skalarprodukt:
$ [\cos u, \sin u] \cdot [\cos v, \sin v] = 1 \cdot 1 \cdot \cos(u-v) \\ \cos(u-v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v \quad \quad \color{red}{(1)}$
Setter u = 0, cos 0 = 1 og sin 0 = 0:
$\cos(-v)= \cos v \quad \quad \color{red}{(2)}$
Bruker (1) og (2) og får:
$\cos(u-v) = \cos(u-(-v)) = \cos u \cos (-v) + \sin u \sin (-v) \quad \quad \color{red}{(1)} \ \cos(-v)= \cos v \wedge \sin(-v) = - \sin v \\ så: \\ \cos( u+v)= \cos u \cos v - \sin u \sin v \quad \quad \color{red}{(3)}$
$cos(u-v) = cos(u)\cdot cos(v)+sin(u) \cdot sin(v) \quad \quad \color{red}{(1)} \quad \quad cos(u + v) = cos(u)\cdot cos(v)-sin(u)\cdot sin(v) \quad \quad \color{red}{(1)}\\ sin(u - v) = sin(u)\cdot cos(v)-cos(u)\cdot sin(v) \quad \quad \color{red}{(1)}\quad \quad sin(u + v) = sin(u)\cdot cos(v)+cos(u)\cdot sin(v)\quad \quad \color{red}{(1)}$
Dobble vinkler
<math>sin(2u) = 2sin(u) \cdot cos(u) </math>
<math>\cos(2u) = cos (u+u) \\ = \cos (u) \cos (u) - \sin (u) \sin (u)= \cos^2 (u) - \sin^2 (u) </math>
<math>1 + cos(2u) = 2 cos^2 (u)</math>
<math>1 - cos(2u) = 2 sin^2 (u)</math>
Dersom u + v = 180° har vi at Sin v = sin u og cos v = -cos u
Flere funksjoner
Nedenfor følger en rekke trigonometriske identiteter. Noen er pensum i norsk skole (R2), andre ikke. Vi mener det er riktig å vise alle, da noen av dere kan komme til å studere i land der disse er pensum.
De tre neste er ikke pensum, men greie å kjenne til:
• <math>cot B = \frac cb = \frac{ cos B}{sin B} = \frac {1}{tan B}</math>
• <math>sec B = \frac ac = \frac{1}{cos B}</math>
• <math>cosec B = \frac ab = \frac{1}{sin B} </math>
Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt.
| Kvadrant | I | II | III | IV |
| cos | pos | neg | neg | pos |
| sin | pos | pos | neg | neg |
| tan | pos | neg | pos | neg |
| cot | pos | neg | pos | neg |
| sec | pos | neg | neg | pos |
| cosec | pos | pos | neg | neg |