R1 2016 vår LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

oppgaven som pdf

Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.

Løsningsforslag (pdf) fra bruker LektorH.

Løsningsforslag (pdf) fra bruker Claves


Diskusjon av denne oppgaven


DEL EN

Oppgave 1

a)

f(x)=3x2+6x4

f(x)=6x+6=6(x1)

b)

g(x)=5ln(x3x)

g(x)=5(3x21)x3x=15x25x3x

c)

h(x)=x1x+1

h(x)=x+1(x1)(x+1)2=2(x+1)2

Oppgave 2

a)

p(x)=x37x2+14x+k

p(x) er delelig med (x2) hvis og bare hvis p(2)=0

p(2)=874+142+k=828+28+k=8+k

8+k=0

k=8

b)

x37x2+14x8:(x2)=x25x+4(x32x2)5x2+14x8(5x210x)(4x8)

x=5±25162x=1x=4P(x)=(x1)(x2)(x4)

c)

P(x)0


x∈<←,1][2,4]

Oppgave 3

a)

f(x)=x2e1x2

f(x)=2xe1x2+x22xe1x2=2xe1x2(1x2)

b)

f´(x)=0x=1x=0x=1

Den deriverte er positiv for x < -1, negativ for -1<x<0, positiv for 0<x<1 og negativ for x >1. Det git toppunkt for x= -1 og x = 1 og minimum for x = 0.

Topp: (-1, f( -1)) gir (-1,1) og (1,f(1)) gir (1,1)

Bunn: (0, f(0)) git (0,0)

c)

d)

Grafen til f har fire vendepunkter.

Oppgave 4

a)

AB=AC=BC=6 cm

HB=12AB=3 cm

CH=(BC)2(HB)2=6232 cm=27=33 cm=33 cm

CF=CE=(BC)2+(BE)2=62+62 cm=262 cm=62 cm

HF=(CF)2(CH)2=7227 cm=45 cm=95 cm=35 cm

b)

AFAB=3+356=3(1+5)23=1+52=ϕ

Oppgave 5

a)

AB=[51,21]=[4,1]AC=[31,51]=[2,4]ABkAC

Punktene A, B og C ligger ikke på en rett linje.

b)

CD=[3,t5]DA=[1,1t]CDDA=0[3,t5][1,1t]=03+(t5)(1t)=0t2+6t8=0t=2t=4

c)

Det er to muligheter: AB || CD eller BC || AD.

[4,1]=s[3,t5][2,3]=s[1,t1]s=4343(t5)=1s=22(t1)=3t=174t=52

Oppgave 6

a)

Antall mulige fagkombinasjoner med 2 realfag og 2 andre fag:

(52)(82)=542!872!=1028=280

b)

Antall mulige fagkombinasjoner med 4 fag hvor minst 2 er realfag:

(52)(82)+(53)(81)+(54)=280+5433!8+5=280+80+5=365

Oppgave 7

a)


Nullpunktene til f er (-2, 0) og (4, 0).

b)

f(x)=x2+px+q

A=(0,1)

B=(p,q)

OS=OA+12AB=[0,1]+12[p,q1]=[p2,1+q12]=[p2,q+12]

S=(p2,q+12)

r=|AS|=(p2)2+(q12)2=p2+(q1)24=p2+(q1)22

c)

Likning for sirkel:

(xx1)2+(yy1)2=r2

(x+p2)2+(yq+12)2=p2+(q1)24

Skjæring med x-aksen:

y=0

(x+p2)2+(q+12)2=p2+(q1)24

(x+p2)2=p2+(q1)24(q+1)24

x+p2=±p24q2

x=p±p24q2

Nullpunkter til f(x):

x2+px+q=0

x=p±p24q2

Sirkelen skjærer x-aksen i nullpunktene til f(x).

DEL TO

Oppgave 1

a)

Det er to bunker:

P(F)=P(F¯)=0,5

To røde kort fra bunke A:

P(R|F)=5847=514

To røde kort fra bunke B:

P(R|F¯)=3726=17

b)

Den totale sannsynligheten for to røde kort:


P(R)=P(F)P(R|F)+P(F¯)P(R|F¯)=12514+1217=14

c)

P(F|R)=P(F)P(R|F)P(R)=12514728=57

Oppgave 2

a)

b)

Arealet av et rektangel er lengde multiplisert med bredde:

Dersom lengden er x, er bredden f(x), Altså T(x)=xf(x)=x5ex2=5xex2

c)

T´(x)=5ex2+5x(12)ex2=(52,5x)ex2

Ser at eneste eksteremalpunkt er for x=2 : T(2)=10e1=10e3,68


Største areal er 3,68, når x=2.

Oppgave 3

a)

Parameterfremstilling for linjen l gjennom B og C. Trenger ett punkt og en rettningsvektor:

BC=[1,5] og B( 4, 0).

[x=4+ty=5t]

b)

AP=[4+t1,5t3]=[3+t,3+5t]

AP vektor kan jo uttrykkes som x- koordiant til P minus x-koordiant til A, og tilsvarende for y-koordinater.

c)

ABAP=0[3,3][3+t,3+5t]=09+3t+915t=0t=32

Innsatt i parameterfremmstillingen i a gir det P(112,152)

d)

Oppgave 4

a)

Vi skal finne likningen til linje l1 når vi vet at denne står vinkelrett på linjen gjennom B og C.

Stigningstall til linjen gjennom BC: 1t1sts=st(ts)st

Siden l1 er vinkelrett på BC blir stigningstallet til l1: al=1AB=(t+s)stst=st


Likningen for l1 blir da: yy1=st(xx1)y1r=st(xr)y=st(xr)+1r

b)