1T eksempeloppgave 2015 vår LØSNING

Oppgave 1

a)

$8,20 \cdot 10^9 \cdot 1,50 \cdot 10^{-3}= \\ 12,30 \cdot 10^{9-3} = \\ 1,23 \cdot 10^7$

b)

$\frac{(a^2)^4 \cdot ( \frac ba)^2}{a^3 \cdot b^{-2}} = \frac{a^8 \cdot \frac{b^2}{a^2}}{a^3b^{-3}} = a^{8-5}b^4 = a^3b^4$

Oppgave 2

a)

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = \\ a^2+2ab + b^2 - (a^2-2ab+b^2) = \\ a^2+2ab + b^2 - a^2 + 2ab -b^2 = \\ 4ab$

b)

$\frac{2x+6}{2x^2-18} \\ = \frac{2(x+3)}{2(x+3)(x-3) \\ = \frac{1}{x-3}}$

Oppgave 3

a)

$g(x)= \frac 13x^3-x^2-3x+4 \quad D_g = \R \\ g'(x)= x^2-2x-3 \\ g'(1)= 1-2-3 =-4$

Den momentane vekstfarten i x = 1 er -4.

b)

$g'(x)= 0 \\ x^2-2x-3 =0 \\ x=-1 \vee x=3$

Fortegnsskjema:

$g(-1)= - \frac 13 -1 +3+4 = 5 \frac23 \\ g(3)= 9-9-9+4= 5$

Maksimumspunkt i $(-1, \frac{17}{3})$

Minimumspunkt i $(3, 5)$

Oppgave 4

a)

Et kvadrat med omkrets 16 har sider lik 4 og et areal på 16.

En sirkel med omkrets 16 har radius $\frac{8}{\pi}$. Arealet blir da

$A= \pi r^2 \\ A= \pi ( \frac {8}{\pi})^2 \\ A= \frac{64}{\pi}$

som er et større areal enn 16. Sirkelen har størst areal.

b)

$A= \frac{(a+b)}{2} \cdot h \\ h = \frac{2A}{(a+b)}$

c)

De parallelle sidene er x og x + 2 cm. lange.

$18= \frac{x+x+2}{2} \cdot 3 \\ 3x+3 =18 \\ x=5$

Den ene siden er 5 cm lang, den andre 7 cm lang.

Oppgave 5

a)

b)

$A= \frac 12 ab SinC \\ sin 140^{\circ}> sin30^{\circ}$

$\triangle ABC$ har størst areal.

Oppgave 6

a)

$y=ax+b \\ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4-2}{2-1} = 2 \\ y= 2x+b \\ 2= 2\cdot 1+ b \\ b = 0 \\ y=2x$

b)

$f(x)= x^2+4 \\ f'x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+ \Delta x)^2 +4 - x^2 -4}{\Delta x} \\ = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2 + 4 -x^2-4}{\Delta x} \\ = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x( 2x + \Delta x )}{\Delta x} \\ =\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2x + \Delta x = 2x $

Oppgave 7

a)

Sannsynlighet for to rosa sokker:

$P(to \quad rosa)= \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{45}$

Det er 1/45 dels sjanse for at hun trekker to rosa sokker.

b)

Sannsynligheten for en rosa og en i en annen farge:

$P( en \quad rosa \quad og \quad en \quad annen \quad farge) = \frac{2}{10} \cdot \frac89 + \frac{8}{10} \cdot \frac29 = \frac{16}{45}$

Det er 16/45 sjanse for å trekke en rosa sokk, i kombinasjon med en annen.

Oppgave 8

a)

$- \frac 14x+2=2x- \frac 52 \\ -x+8=8x-10 \\ -9x = -18 \\ x=2$

b)

<math> \left[ \begin{align*} x+y=7 \\ 3x -2y = -4 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} x=7 -y \\ 3(7-y) -2y = -4 \end{align*}\right] </math>

$21 - 3y - 2y = -4 \\ -5y = -25 \\ y=5$

Innsatt i likning en gir det x = 2, dvs: $x = 2 \wedge y =5$

c)

$-2x^2+9x+5\leq 0$

Løser

$-2x^2+9x+5 = 0 \\ x= - \frac12 \vee x=5 $

I følge ulikheten skal uttrykket være mindre eller lik null, dvs:

$x \in [- \frac 12, 5]$

Oppgave 9

Skjærer y- aksen i (0. 1)

f(0) = 1, dvs c = 1

Ett nullpunkt betyr at uttrykket under rottegnet i ABC formelen er null:

$b^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0 \\ b = \pm 4$

To funksjoner oppfyller kravene:

$f(x)= 4x^2+4x+1 \wedge f(x)=4x^2-4x+1$

Oppgave 10

a)

Finner arealet av OAB og trekker fra arealet av de mindre trekantene OQP, QBM og MAP.

Areal $triangle PQM $ $ A =16-( \frac{x^2}{2} + \frac{(8-x)2}{2} + \frac{(4-x)4}{2}) \\ A= 16 - \frac{x^2}{2}-8+x-8+2x \\ A= - \frac{x^2}{2} + 3x$

Som skulle vises. (x kan ikke være mindre enn null, eller større enn fire).

b)

$T'(x) = -x + 3 \\ T'(x)=0 \\ x=3 $

Vi ser av fortegnet til andregradsleddet i T at x = 3 gir et maksimumspunkt. Arealtet av trekanten PQM er altså størst når x = 3.

T(3) = 4,5

Oppgave 1

a)

a + b + c = 30 : Sidene er a, b og c. Summen av disse er omkretsen, som er 30.

$a^2 + b^2 = c^2$: Trekanten er rettvinklet og vi kan anvende pytagoras.

ab er det dobbelte av trekantens areal. gh = 6c, er også det dobbelte av trekantens areal. Derfor er ab = 6c.

b)

Oppgave 4

Vi lar CAS gjøre utregningene, men her er framgangsmåten: Vi bruker cosinussetningen og tar for eksempel $24^2=20^2+14^2-2*20*14*Cos{A}$ Da vil vi finne $Cos{A}=\frac{20^2+14^2-24^2}{2*20*14}$ og da er $\angle{A}\approx 87,7^{\circ}$ Og til sist bruker vi arealsetningen $T_{\triangle{ABC}}=\frac{1}{2}*20*14*Sin{A}\approx 140 m^2$

Oppgave 5

Først lager vi en funksjon for arealet av ABC. Da kombinerer vi f(x) som gir oss høyden i trekanten, og som er punktet C på grafen, med x som er distansen fra A = Origio til B.

$T_{\triangle{ABC}}=\frac{1}{2}*(\frac{10}{x^2}+5)*x$

Dette gjør vi i CAS. Så lar vi CAS derivere den nye funksjonen vår, og så lar vi CAS finne nullpunktene til den deriverte. $-\sqrt{2}$ kan vi stryke ut, fordi den originale funksjonen vår kun er definert for x>0. Da må $\sqrt{2}$ være løsningen.

Da finner vi at arealet må være 7,07.