S2 eksempeloppgave 2015 vår LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

DEL 1 (3 timer)

Oppgave 1

a)

f(x)=3x32x+5f(x)=33x22=9x22

b)

g(x)=xe2xg(x)=1e2x+x2e2x=(1+2x)e2x

Oppgave 2

Bestem h(2) når h(x)=exx1

h(x)=ex(x1)ex1(x1)2=xexexex(x1)2=xex2ex(x1)2=(x2)ex(x1)2h(2)=(22)e2(21)2=0e21=0

Oppgave 3

P(x)=2x36x28x+24

a)

P(3)=23363283+24=2276924+24=545424+24=0

b)

Vi har vist at P(x)=0 for x=3. Då seier nullpunktsetninga at polynomdivisjonen P(x):(x3) går opp.

(2x36x28x+24):(x3)=2x28

Faktoriserer 2x28:

2x28=2(x24)=2(x2)(x+2)

P(x)=(2x28)(x3)=2(x2)(x+2)(x3)

c)

2x36x28x+242x28=2(x2)(x+2)(x3)2(x2)(x+2)=(x3)

Oppgave 4

a)

n an Sn Sn
1 1 1 13
2 7 8 23
3 19 27 33
4 37 64 43
5 61 125 53
6 91 216 63

Formel for Sn:

Sn=n3

b)

Sn er summen av dei n første ledda

Sn=a1+a2+...+an1+an

Sn1 er summen av dei (n1) første ledda:

Sn1=a1+a2+...+an1

Vi får at: Sn=Sn1+anan=SnSn1

an=SnSn1an=n3(n1)3=n3(n1)(n1)2=n3(n1)(n22n+1)=n3n3+2n2n+n22n+1=3n23n+1

Oppgave 5

f(x)=x34x2+4x, x1,4

a)

Nullpunkt:

f(x)=0x34x2+4x=0x(x24x+4)=0x=0x24x+4=0x=0(x2)2=0x=0x=2

Nullpunktene er x=0 og x=2.

Topp-/bunnpunkt:

f(x)=3x28x+4

f(x)=03x28x+4=0x=(8)±(8)243423=8±64486=8±166=8±46x=2x=23

3x28x+4=3(x2)(x23)

(Sett inn fortegnslinje)

f(2)=0f(23)=3227

Toppunktet er (23,3227) . Bunnpunktet er (2,0).

b)

Oppgave 6

f(0)=300, f(10)=0 og f(10)=10

Ved starten av utbruddet, når t=0 er spruter det ut 300 tonn lava per time.

Etter 10 timer er veksten lik 0. Fordi den andrederiverte er negativ for t=10, vet vi at dette må være et toppunkt. Etter 10 timer er mengden lava per time størst.

Mengden lava per time øker fram til det har gått 10 timer, for deretter å avta.

Oppgave 7

Overskudd er inntekter minus kostnader.

O(x)=I(x)K(x)

Overskuddet er størst når O(x)=0 (Toppunktet på grafen til O(x))

Vi deriverer og får: O(x)=I(x)K(x)

O(x)=0I(x)K(x)=0I(x)=K(x)

Når grensekostnaden er lik grenseinntekta er overskuddet størst.

Oppgave 8

a)

x=95 gir

z=xμσ=9510015=515=130,33

P(X95)=P(Z0,33)=0,3707

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person vil skåre mindre enn 95 poeng, er ca. 37 %.

b)

Vi skal finne den z-verdien, som gjør at sannsynligheten P(Zz)=0,02.

Det er det samme som at P(Zz)=0,98. I tabellen for standard normalfordeling finner vi at det er z=2,05.

Vi kan nå regne om og finne x.

z=xμσ2,05=x1001530,75=x100x=130,75

Du må minst skåre 131 poeng for å kunne bli medlem av Mensa.

Oppgave 9

Tabellen gir følgende likningssystem:

3x+2y+4z=1202x+3y+2z=752x+5y+3z=105

Løsning: x=10,y=5 og z=20

Oppgave 10

a)

Rekken er geometrisk fordi forholdet mellom et ledd og leddet foran er konstant med k=29.

Rekken konvergerer, fordi 1<k<1.

Summen blir:

S=a11k=7129=779=9

b)

Summen av ballen sine høyder kan vi skrive slik:

10+2310+232310+...

Vi kan se på dette som en geometrisk rekke med

a1=10 og k=23.

Rekken er konvergent, fordi 1<k<1.

Da blir s=a11k=10123=1013=30

Ballen skal opp og ned, bortsett fra for den første høyden. (Den blir sleppt fra 10 m.)

Den totale lengden blir derfor: 230 m 10 m =50 m.

Oppgave 11

f(x)=(x1)ex,x3,2

a)

Skjæring med y-aksen:

f(0)=(01)e0=11=1

Skjæring med x-aksen:

f(x)=0(x1)ex=0x1=0x=1

Koordinatene til skjæringspunktene er (0,1) og (1,0).

b)

f(x)=1ex+(x1)ex=(1+x1)ex=xex

f(x)=0xex=0x=0

(Lager fortegnslinje.)

Grafen til f har et bunnpunkt i (0,1).

c)

Grafen synker raskest når f(x)=0.

f(x)=1ex+xex=(1+x)ex

f(x)=0(1+x)ex=01+x=0x=1

(Lager fortegnslinje.)

f(1)=(11)e1=2e1=2e

Grafen til f synker raskest i punktet (1,2e).

Del 2 (2 timer)

Oppgave 1

a)

Svar: n=12 og m=9.

b)

Tre påfølgende tall, kan vi skrive som x, x+1 og x+2.

Vi får da denne likningen for summen av tre påfølgende kubikktall:

x3+(x+1)3+(x+2)3=63

De tre kubikktallene er 33, 43 og 53.

Oppgave 2

For å finne når fondet har størst vekst, må vis løse likningen f(x)=0 og vise at f(x) skifter fortegn i dette punktet. Deretter kan vi sette løsningen inn i f(x) og f(x). Jeg bruker CAS i GeoGebra.

Fondet har størst vekst i det 9. året etter 1996, det vil si i 2005.

Da er veksten ca. 304,43 milliarder kroner i året.

Fondet er på ca. 1616,87 milliarder kroner på det tidspunktet.

Oppgave 3

a)

E(x) er kostnader per enhet. Det kan vi skrive slik:

E(x)=K(x)x

Slik kan vi finne et uttrykk for totalkostnaden:

K(x)=E(x)x=(0,15x+7+2000x)xK(x)=0,15x2+7x+2000

Uttrykket for inntekten, finner vi ved å gange inntekt per enhet med antall enheter.

I(x)=55x

b)

Jeg har løst denne oppgaven grafisk i GeoGebra.

Funksjonen for overskuddet finner jeg ved å skrive inn: O(x)=I(x)K(x).

Jeg finner skjæringspunktene (49,25,0) og (270,75,0) mellom grafen til O(x) og x-aksen ved å bruke kommandoen «Nullpunkt». (Punkt A og B på grafen.)

Jeg finner toppunktet (160,1840) til grafen til O(x) ved å bruke kommandoen «Ekstremalpunkt». (Punkt C på grafen.)

Produksjonsmengder mellom 50 og 270 enheter gir overskudd.

Det største overskuddet har bedriften ved produksjon av 160 enheter.

Oppgave 4

a)

Jeg tegner grafen i GeoGebra:

b)

Jeg bruker kommandoen «Integral», og skriver inn: Integral[D, 0, 20].

Arealet under grafen er vist i oppg. a)

020D(x)dx=2856,5

Dette svaret gir oss det totale antallet deltakere de første 20 ukene.

Oppgave 5

a)

Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, og velger «Normalfordeling». Jeg legger inn μ=79,2 og σ=6,4.

Så finner jeg sannsynligheten P(75,0X85,0).

56,2 % av kundene veide mellom 75,0 kg og 85,0 kg.

b)

Hypotesene blir:

H0:μ=79,2 (Gjennomsnittsvekten er uendret)

H1:μ<79,2 (Gjennomsnittsvekten har gått ned)

Vi har testet 30 kunder, med x¯=76,0 kg.

Da er samlet vekt for de 30 kundene: 3076,0 kg =2280 kg.

Vi går ut fra at H0 gjelder. Vi lar XΣ være summen av vekten til 30 tilfeldige kunder.

Da er XΣ normalfordelt, med μXΣ=nμ=3079,2=2376 og σXΣ=nσ=306,435,05

Vi ønsker nå å finne sannsynligheten for at den samla vekten til 30 kunder er mindre enn 2280 kg, P(XΣ<2280). Jeg bruker sannsynlighetskalkulator i GeoGebra:

P-verdien blir P(XΣ2280)=0,0031=0,31%

P-verdien er 0,3%<5%. Da kan vi forkaste nullhypotesen. Treningssenteret har grunnlag til å hevde at gjennomsnittsvekten til kundene har gått ned.

Oppgave 6

Jeg lager et skjema for å få oversikt over innbetalingene. Jeg regner alt om til nåverdier. Vi lar p være den månedlige renten, da blir vekstfaktoren x=1+p100

Summen av alle nåverdiene til innbetalingene, må være 20 000 kroner.

20000=729x+729x2++729x36

Dette blir en geometrisk rekke med 36 ledd

a1=729x og k=1x

s36=729x(1x)3611x1=20000

Løser likningen med CAS i GeoGebra:

Bare den positive løsningen kan brukes. x=1,0155

Det gir en månedlig rente på 1,55 %.

Årleg rente:

Den årlige renten blir 20,3 %.